Troppe parallele

[scambret]

Sia ABC un triangolo con H ortocentro e P un punto sulla circoscritta di ABC. La retta per A parallela a BP incontra CH in Q e la retta per A parallela a CP incontra BH in R. Dimostra che QR è parallela a AP.

Testo nascosto:

In sintetica è carino, in Complessi è bello, in baricentriche è lungo e davvero contoso
Scegliete il modo che più vi piace!

[spugna]

Sia $A'$ il punto della circonferenza diametralmente opposto ad $A$. Posto $\gamma=\widehat{PAQ}$ e $\beta=\widehat{PAR}$, la retta $QR$ risulta essere parallela ad $AP$ se e solo se $\dfrac{AQ}{AR}=\dfrac{\sin \beta}{\sin \gamma}$ (1), tuttavia si può notare che, al variare di $P$ in uno stesso arco $AA'$ ($A'$ escluso, perché in quel caso $P$ e $Q$ non sono definiti), $\beta$ e $\gamma$ rimangono costanti: infatti, detto $\theta$ l'angolo tra $AP$ e $t$ (la tangente alla circonferenza in $A$), si ha $\widehat{ABP}=\widehat{ACP}=\theta$, perché sono tutti e tre angoli alla circonferenza sull'arco $AP$, ma allora anche $\widehat{BAQ}=\widehat{CAR}=\theta$ (2) per i parallelismi tra rette, quindi $AP$, $AQ$ e $AR$ sono ottenute ruotando $t$, $AB$ e $AC$ di uno stesso angolo, e siccome gli angoli tra queste ultime tre rette sono fissati, lo sono anche $\beta$ e $\gamma$; ora però sappiamo anche che i triangoli $AQM$ e $ARN$ sono simili (dalla (2)), dove $M$ e $N$ sono rispettivamente i piedi delle altezze $CH$ e $BH$, perciò $\dfrac{AQ}{AR}=\dfrac{AM}{AN}=costante$, perché dipende solo da $ABC$. Ricapitolando, entrambi i membri della (1) non dipendono da $P$: per dimostrare che sono uguali basta dunque dimostrare la tesi per una posizione particolare di $P$, ovvero $P \equiv A$, nella quale $AP \equiv t$, e quindi $\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli che $t$ forma rispettivamente con $AC$ e $AB$, ma questi angoli sono proprio $\widehat{ABC}$ e $\widehat{ACB}$, sempre per l'uguaglianza tra angoli alla circonferenza: detto questo, la tesi è
$AM \cdot \sin \gamma=AN \cdot \sin \beta \Leftrightarrow \dfrac{AM}{AN}=\dfrac{\sin \beta}{\sin \gamma}=\dfrac{AC}{AB}$ (teorema dei seni) $\Leftrightarrow \dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$, che è vero perché $ACM$ e $ABN$ cono simili