Edit: Ovviamente il problema che avevo messo in precedenza era già apparso di recente sul forum (non avevo controllato abbastanza bene), dunque lo cambio con questo (forse un po' troppo facile, ma è il migliore che ho trovato).
Scegliamo arbitrariamente tre punti $A_1$, $B_1$ e $C_1$ rispettivamente sui lati $BC$, $CA$ ed $AB$ di un triangolo $\triangle ABC$. Siano $a=S_{AB_1C_1}$, $b=S_{A_1BC_1}$, $c=S_{A_1B_1C}$ e $d=S_{A_1B_1C_1}$. Dimostrare che è verificata la seguente disuguaglianza:
$$d^3+(a+b+c)d^2\geq 4abc$$
Sperando che questo esercizio abbia più fortuna .
66. Disuguaglianza fra aree
66. Disuguaglianza fra aree
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
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Re: 66. Disuguaglianza fra aree
Riscrivo come: $ d^2(a+b+c+d)=d^2A_T\geq 4abc $.
Adesso ho per AM-GM $ \frac{4}{27}(A_T-d)^3 \geq 4 abc $. E' quindi sufficiente mostrare che $ d^2A_T\geq \frac{4}{27}(A_T-d)^3 $ .
Facendo i conti a me viene: $ 4A^3 \leq 4d^3+15d^2A+12A^2d $, vera per bunching.
Va bene grazie a Troleito possiamo dire che questa soluzione è sbagliata. Basta dividere per $ A^3 $ sostituire il rapporto $ \frac{d}{A}=x $ per notare che la cubica che viene non soddisfa la diseguaglianza per $ 0<x<1 $.
Adesso ho per AM-GM $ \frac{4}{27}(A_T-d)^3 \geq 4 abc $. E' quindi sufficiente mostrare che $ d^2A_T\geq \frac{4}{27}(A_T-d)^3 $ .
Facendo i conti a me viene: $ 4A^3 \leq 4d^3+15d^2A+12A^2d $, vera per bunching.
Va bene grazie a Troleito possiamo dire che questa soluzione è sbagliata. Basta dividere per $ A^3 $ sostituire il rapporto $ \frac{d}{A}=x $ per notare che la cubica che viene non soddisfa la diseguaglianza per $ 0<x<1 $.
Ultima modifica di Hawk il 07 apr 2014, 22:33, modificato 1 volta in totale.
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Re: 66. Disuguaglianza fra aree
?Hawk ha scritto:$ 4A^3 \leq 4d^3+15d^2A+12A^2d $, vera per bunching.
Re: 66. Disuguaglianza fra aree
Beh sì, in effetti non è proprio corretto come ho scritto.
Per bunching si ha $ A^3+d^3\leq A^2d+Ad^2 $. A maggior ragione: $ A^3\leq d^3+A^2d+Ad^2 $.
Dunque $ 4A^3 \leq 4d^3+4A^2d+4Ad^2 \leq 4d^3+15d^2A+12A^2d $.
Per bunching si ha $ A^3+d^3\leq A^2d+Ad^2 $. A maggior ragione: $ A^3\leq d^3+A^2d+Ad^2 $.
Dunque $ 4A^3 \leq 4d^3+4A^2d+4Ad^2 \leq 4d^3+15d^2A+12A^2d $.
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Re: 66. Disuguaglianza fra aree
Il verso è sbagliato!Hawk ha scritto: $ A^3+d^3\leq A^2d+Ad^2 $
Re: 66. Disuguaglianza fra aree
Sia \(x_1=BA_1\) , \(x_2=A_1C\) e analogamente \(y_1, y_2, z_1, z_2\) (rispettivamente \(CB_1, B_1A, AC_1, C_1B\)); sia \(R\) il raggio della circonferenza circoscritta ad \(ABC\).
Per il teorema dei seni e per la formula trigonometrica per l'area vale:
\(4R[ABC]=(x_1+x_2)(y_1+y_2)(z_1+z_2)\)
\(4Ra=4R\frac{1}{2} y_2 z_1 sin{\alpha}=y_2 z_1 (x_1+x_2)\) e cicliche, da cui
\(4Rd=4R[ABC]-4Ra-4Rb-4Rc=x_1y_1z_1+x_2y_2z_2\).
La tesi equivale dunque a \(d^2[ABC] \geq 4abc\) cioè
\((4Rd)^2 (4R[ABC]) \geq 4 (4Ra) (4Rb) (4Rc) \)
\((x_1y_1z_1+x_2y_2z_2)^2 (x_1+x_2)(y_1+y_2)(z_1+z_2) \geq 4 x_1 x_2 y_1 y_2 z_1 z_2 (x_1+x_2)(y_1+y_2)(z_1+z_2)\)
\((x_1 y_1 z_1-x_2 y_2 z_2)^2 \geq 0\)
che è vera.
Per il teorema dei seni e per la formula trigonometrica per l'area vale:
\(4R[ABC]=(x_1+x_2)(y_1+y_2)(z_1+z_2)\)
\(4Ra=4R\frac{1}{2} y_2 z_1 sin{\alpha}=y_2 z_1 (x_1+x_2)\) e cicliche, da cui
\(4Rd=4R[ABC]-4Ra-4Rb-4Rc=x_1y_1z_1+x_2y_2z_2\).
La tesi equivale dunque a \(d^2[ABC] \geq 4abc\) cioè
\((4Rd)^2 (4R[ABC]) \geq 4 (4Ra) (4Rb) (4Rc) \)
\((x_1y_1z_1+x_2y_2z_2)^2 (x_1+x_2)(y_1+y_2)(z_1+z_2) \geq 4 x_1 x_2 y_1 y_2 z_1 z_2 (x_1+x_2)(y_1+y_2)(z_1+z_2)\)
\((x_1 y_1 z_1-x_2 y_2 z_2)^2 \geq 0\)
che è vera.
Re: 66. Disuguaglianza fra aree
Questa mi sembra giusta (tra parentesi, bella l'idea del raggio circoscritto, e quasi "magica" la semplificazione del $4Rd$, non la conoscevo e mai l'avrei immaginata), vai pure con il prossimo!
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