Problema Cantoriano

Mathema · Messaggio da **Mathema** » 01 gen 1970, 01:33

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 On 2003-06-28 11:45, Fede_HistPop wrote:
 Beh, N non è numerabile, ma può essere ordinato...
 i numeri pari
 i numeri dispari
 i multipli di m
 ..........
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Fede_HistPop il 28-06-2003 11:45 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Perchè mai N non sarebbe numerabile?

logicus · Messaggio da **logicus** » 01 gen 1970, 01:33

N E\' numerabile: N definisce la numerabilità! (numerabile = che si può mettere in corrispondenza biunivoca con N)

logicus · Messaggio da **logicus** » 01 gen 1970, 01:33

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 On 2003-06-27 19:49, publiosulpicio wrote:
 Bhè forse... ma forse bisognerebbe dimostrare che un\'infinità numaribile di insiemi numerabili è ancora numerabile, ma non so...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Credo che un\'infinità numerabile di insiemi numerabili sia un po\' come l\'insieme delle parti di N... numerabile anch\'esso.

logicus · Messaggio da **logicus** » 01 gen 1970, 01:33

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 Ma perchè? A qualunque insieme, anche non numerabile, si può dare un ordinamento, ed addirittura anche un buon ordinamento!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Questo non vale per C, quindi neppure per R2, e neppure per N2; ancora meno per le altre potenze.
 
 Cmq confermo che l\'ordinabilità non implica la numerabilità, e quindi non è detto che un insieme non numerabile non sia ordinabile.
 N2 è numerabile ma non ordinabile; R è ordinabile ma non numerabile (o, meglio, ha potenza superiore del numerabile). [ Questo Messaggio è stato Modificato da: logicus il 29-06-2003 13:17 ]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Devo contraddire Logicus su un paio di punti.
 
 1) L\'insieme delle parti di N non è numerabile, tant\'è che la sua cardinalità è 2^#N (questa credo sia stata solo una svista di Logicus). Invece, come giustamente Logicus riconosce, un\'infinità numerabile di insiemi numerabili è numerabile, perchè può essere facilmente messa in corrispondenza biunivoca con Q.
 
 2) Qui invece credo che Logicus abbia frainteso un po\' di questioni. La storia della non ordinabilità di C è vera, ma solo se si richiede che l\'ordinamento rispetti le usuali proprietà rispetto alle operazioni! In generale un ordinamento esiste eccome, basti pensare a quello indotto dalla funzione modulo. Per questo motivo, anche il passaggio a R^2 che fa Logicus è irragionevole, così come quello a N^2, che addirittura è numerabile e quindi ovviamente ordinabile. Ribadisco invece che OGNI insieme possiede un buon ordinamento, ovvero una relazione d\'ordine totale in cui ogni sottoinsieme ha elemento minimo. Questo teorema deve anche avere un qualche nome, e qualche legame con l\'assioma della scelta, quindi se c\'è un matematico volenteroso in ascolto, lo prego di intervenire.[addsig]

logicus · Messaggio da **logicus** » 01 gen 1970, 01:33

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 On 2003-06-29 19:12, Antimateria wrote:
 
 La storia della non ordinabilità di C è vera, ma solo se si richiede che l\'ordinamento rispetti le usuali proprietà rispetto alle operazioni! In generale un ordinamento esiste eccome, basti pensare a quello indotto dalla funzione modulo.
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 Confermo questa e le altre correzioni del buon Antimateria! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> La mia affermazione che numerabilità e ordinabilità non sono collegate è vera solamente considerando una relazione d\'ordine con le usuali proprietà; in generale invece se si possono contare gli elementi di un insieme ognuno avrà un numero e quindi sono ordinati!

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

chiedo perdono per aver usato \"ordinare\" in senso non matematico, intendevo dire \"enumerare\" (che è poi più o meno la stessa cosa se si considera che l\'insieme degli ospiti è discreto)

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

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 Ribadisco invece che OGNI insieme possiede un buon ordinamento, ovvero una relazione d\'ordine totale in cui ogni sottoinsieme ha elemento minimo. Questo teorema deve anche avere un qualche nome, e qualche legame con l\'assioma della scelta, quindi se c\'è un matematico volenteroso in ascolto, lo prego di intervenire
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 scopro casualmente or ora che il teorema si chiama teorema di Zermelo, ed è equivalente all\'assioma della scelta