Tanti liberi da quadrati

[jordan]

Ciò vuol dire che NSF= numero di Quadrati Perfetti minori o uguali a N!!!

Ma questo non puo' essere corretto: prendi $N=23$ allora l'insieme dei quadrati perfetti è $\{1,4,9,16\}$ e quello dei non-liberi da quadrati è $\{4,9,12,16,18,20\}$ (e lasciamo stare anche l'1, ma dovrebbe essere abbastanza intuitivo che i secondi sono molti di piu')..

Infatti, continuando la soluzione classica di Gottinger, si puo' mostrare il seguente:

"Sia $Q(x)$ il numero dei quadrati perfetti minori di $x$, e sia $N(x)$ il numero degli interi non-liberi da quadrati minori di $x$. Dimostrare che per ogni reale $c$ esiste un $x$ tale che $N(x)>cQ(x)$."

[Gottinger95]

Basta pensare che, per ogni quadrato \(q\) in \(1, \ldots, n/s\), dove \(s\) è uno squarefree \(\le n\), esiste un non-squarefree, precisamente \(qs\), in \(1,\ldots, n\).
Anzi, questa è una bigezione, perchè vale anche il contrario: ogni non-squarefree è composto da uno squarefree \(\le n\) e un quadrato \(\le n/s\).
In formule, detto \(S(x) \) l'insieme degli squarefree minori di \(x\):
\[ N(x) = \sum_{s \in S(x)} Q(x/s)\]
Usando il fatto che \( Q(x/s) \ge Q(x)/s\), abbiamo
\[ N(x) \ge Q(x) \sum_{s \in S(x) } \frac{1}{s} \]
Consideriamo \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sum_{s \in S(x)} \frac{1}{s} \) (cioè la somma estesa a tutti gli squarefree del mondo): ogni numero della forma \(s^{-1}\) si può scrivere come \((p_1 \cdot \ldots \cdot p_k)^{-1}\) (grazie al pene) per certi primi \(p_1, \ldots, p_k\), perciò possiamo scrivere la nostra somma come:
\[ \lim_{x \to \infty} \sum_{s \in S(x)} \frac{1}{s} = \prod_{p \in \mathbb{P} } \left ( 1+ \frac{1}{p} \right ) (*) \]
perchè a ogni parentesi di destra decidiamo se prenderci o meno il primo che ci vuole dare (scegliendo \(1\) oppure \(1/p\) ).
Vogliamo dimostrare che (*) diverga (ossia faccia \(\infty\) ):
\[ \prod_{p \in \mathbb{P} } \left ( 1+ p^{-1} \right ) = \prod_{p \in \mathbb{P} } \left ( \frac{ 1- p^{-2} }{ 1-p^{-1} } \right ) = \left [ \prod_{p \in \mathbb{P} } \left ( \frac{1}{1-p^{-1} } \right ) \right ] \cdot \left [ \prod_{p \in \mathbb{P} } \left ( \frac{1}{1-p^{-2} } \right ) \right ]^{-1} = \left ( \sum_{n \in \mathbb{N} } \frac{1}{n} \right ) \left ( \sum_{n \in \mathbb{n}} \frac{1}{n^2} \right )^{-1} = \infty \]
Perchè la somma degli \(1/n\) diverge e la somma degli \(1/n^2\) converge (abbiamo usato, nel penultimo passaggio, il prodotto di eulero).
Visto perciò che \( (*) = \infty\), per ogni \(c\) esiste un \(x_c\) tale che per tutti gli \(x > x_c\) vale \( \displaystyle \sum_{s \in S(x) } \frac{1}{s} > c\), perciò:
\[ N(x) \ge Q(x) \sum_{s \in S(x) } \frac{1}{s} > c Q(x) \]
che è ciò che Jordan chiese.

P.S. Comunque oh, il lemma del post è fichissimo! Cioè, pensavo che gli squarefree fossero relativamente pochi, invece sono più della metà! Tra l'altro @Jordan, con il lemma di ramanujan che mi avevi mostrato questo è potentissimo

[jordan]

Bene! Quello che diceva che gli interi $n\le x$ tali che $\omega(n) \le k$ sono $o(x)$? Comunque, non resta che mostrare che la densità degli squarefree e' esattamente $6/\pi^2$: chi completa ?

[Gottinger95]

no, quello a pagina 3 di http://ns1.ias.ac.in/resonance/Volumes/ ... 1-0092.pdf

[Gottinger95]

Se fosse vero questo lemma:
Densità. Sia \(A \subseteq \mathbb{N} \). Indichiamo \( S(x)= S \cap [1, \ldots, x] \) , dove \(S\) è un generico insieme. Allora, detta \(d(A)\) la densità di \(A\), si ha:
\[ d(A) = \lim_{x \to \infty} \left ( \sum_{a \in A(x) } \frac{1}{a} \right )\left ( \sum_{n \in \mathbb{N}(x) } \frac{1}{n} \right )^{-1} \]

allora avremmo \( \displaystyle d(\{squarefree\} ) = \frac{6}{\pi^2} \), da quello che ho scritto al post prima. Io ci credo in quel lemma; con un po' di cose vale, e in fondo ha pure senso, perchè è come dire che "spostarsi" da un insieme di densità \(1/r\) all'insieme \( \{1, r, 2r, \ldots \}\) (quello con densità \(1/r\) per eccellenza) non cambia tanto, perchè l'infinito sotto si mangia tutte queste cose di "passaggio", che io credo abbastanza piccole. Ma è tutto da dimostrare, queste sono solo chiacchere!

[gpzes]

controedit

[FrancescoVeneziano]

Se fosse vero questo lemma:…

Il lemma è vero, ma manca un'ipotesi: devi assumere che l'insieme $ A $ ammetta una densità asintotica.

La quantità definita sulla destra si chiama densità logaritmica dell'insieme $ A $. Non è difficile dimostrare che se esiste la densità asintotica allora esiste anche la densità logaritmica, e coincidono (hint: parti da $ f(x)=\sum_{a \in A(x)}\frac{1}{a}=\sum_{n\leq x}\frac{\chi_A(n)}{n} $ ed usa la sommazione parziale), però ci sono insiemi che ammettono densità logaritmica ma non densità asintotica, per esempio l'insieme degli interi la cui rappresentazione decimale comincia con la cifra 1.

[gpzes]

Scusate insistenza…cercavo metodo che evitasse stime delle sommatorie
Ragioniamo modulo 4…
Dato il naturale $N$ (il$2n$del problema) si ha che $N$= n° SquareFree + n° NonSquareFree , abbreviato SF e NSF; considero N mod 4.
Nella classe dello 0 posso solo avere NSFPari che hanno un fattore 4 ma nessun SF.
Gli SFPari possono solo stare nella classe del 2.
Studiando la forma dei $NSFPari\underset{4}{\mathop{\equiv }}\,2$ e $NSFDispari$, ottengo:
{SF}=$N-\left[ \frac{N}{4} \right]-\left[ \frac{1}{2}\left( \sqrt{N}-1 \right) \right]-\left[ \frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{N}{2}}-1 \right) \right]\ge \left[ \frac{N}{2} \right]+1$, se $N\ge 18$.
{SF}=$N-\left[ \frac{N}{4} \right]-\left[ \frac{1}{2}\left( \sqrt{N}-1 \right) \right]\ge \left[ \frac{N}{2} \right]+1$, se $9\le N<18$.
{SF}=$N-\left[ \frac{N}{4} \right]\ge \left[ \frac{N}{2} \right]+1$, se $1\le N<9$.

[Gottinger95]

@gzpes: cerca di specificare cosa significa ogni addendo, così è difficile starti dietro!
@Francesco Veneziano: hai ragione, certo. Domanda:
Che si può dire invece in generale di:
\[ d_{\alpha} (A) = \lim_{n \to \infty} \left ( \sum_{ m \in A, m \le n} m^{\alpha} \right ) \cdot \left ( \sum_{m \le n} m^{\alpha} \right )^{-1} \]
E' vero che se esiste \(d_{\alpha}(A) \) allora esiste anche \( d_{\beta}(A)\) per ogni \(\beta \le \alpha\) e coincide con \(d_{\alpha}(A)\) ?
O magari che se esiste \(d_0(A)\) allora \(d_{\alpha}(A) \) esiste e coincide con \(d_0(\alpha)\) per ogni \(\alpha \in \mathbb{R}\) (o forse \(\mathbb{R}^-\) )?
O insomma, cose del genere.

[gpzes]

scusatemi per intempestività nel rispondere...
spero essere più chiaro

Dato il naturale $N$ (il$2n$del problema) si ha che $N$= n° SquareFree + n° NonSquareFree , abbreviato SF e NSF; considero N mod 4.
Nella classe dello 0 posso solo avere NSFPari che hanno un fattore 4 ma nessun SF.
Gli SFPari possono solo stare nella classe del 2.
Studiamo la forma dei $NSFPari\underset{4}{\mathop{\equiv }}\,2$ e $NSFDispari$:
• $NSFPari\underset{4}{\mathop{\equiv }}\,2$: devono essere della forma $2\cdot M_{dispari}^{2}\cdot {{Q}_{squarefreedispari}}\le N$, con $M_{dispari}^{2}\ne 1$. Nella peggiore delle ipotesi possono essere della forma $2\cdot M_{dispari}^{2}\le N$., ossia dovrà essere $3\le {{M}_{dispari}}\le \left[ \sqrt{\frac{N}{2}} \right]$.
Allora contiamoli.
Essi saranno, supponendo che $N\ge 18$, \[\left[ \frac{1}{2}\left( \left[ \sqrt{\frac{N}{2}} \right]-1 \right) \right]-\left[ \frac{3}{2} \right]+1=\left[ \frac{1}{2}\left( \left[ \sqrt{\frac{N}{2}} \right]-1 \right) \right]\].
• $NSFDispari$: devono essere della forma $M_{dispari}^{2}\cdot {{Q}_{squarefreedispari}}\le N$, con $M_{dispari}^{2}\ne 1$. Nella peggiore delle ipotesi possono essere della forma ${{3}^{2}}\le M_{dispari}^{2}\le N$., ossia dovrà essere $3\le {{M}_{dispari}}\le \left[ \sqrt{N} \right]$.
Allora contiamoli.
Essi saranno, supponendo che $N\ge 9$, \[\left[ \frac{1}{2}\left( \left[ \sqrt{N} \right]-1 \right) \right]-\left[ \frac{3}{2} \right]+1=\left[ \frac{1}{2}\left( \left[ \sqrt{N} \right]-1 \right) \right]\].

Tenendo conto del fatto che la somma degli elementi di tutte le classi deve essere N e che nella classe dello 0 vi sono $\left[ \frac{N}{4} \right]$ elementi, otteniamo che :
{SF}=$N-\left[ \frac{N}{4} \right]-\left[ \frac{1}{2}\left( \left[ \sqrt{N} \right]-1 \right) \right]-\left[ \frac{1}{2}\left( \left[ \sqrt{\frac{N}{2}} \right]-1 \right) \right]\ge \left[ \frac{N}{2} \right]+1$, se $N\ge 18$.
{SF}=$N-\left[ \frac{N}{4} \right]-\left[ \frac{1}{2}\left( \left[ \sqrt{N} \right]-1 \right) \right]\ge \left[ \frac{N}{2} \right]+1$, se $9\le N<18$.
{SF}=$N-\left[ \frac{N}{4} \right]\ge \left[ \frac{N}{2} \right]+1$, se $1\le N<9$

mi auguro sia giusto ed aver evitato la stima delle sommatorie di Eulero