Polinomio olimpiadi nazionali

[LorMath97]

Sia $ P(x) $ un polinomio non identicamente nullo che soddisfa la condizione :

$ xP(x)=(x-1)P(x+ \frac{1}{2011}) $

Calcolare la somma di tutti i numeri reali $ \phi $ tali che $ P(\phi)=0 $

Risultato :$ 1006 $

[PIELEO13]

Osservariamo che:
- se poniamo x=0 otteniamo $ p(\tfrac{1}{2011})=0 $
- se poniamo x=1 otteniamo $ p(1)=0 $

Ora proviamo a porre $ x=\tfrac{2010}{2011} $ abbiamo $ p(\tfrac{2010}{2011})=p(1)=0 $

Ora proviamo a porre $ x=\tfrac{2009}{2011} $ abbiamo $ p(\tfrac{2009}{2011})=p(\tfrac{2010}{2011})=0 $

E possiamo comportarci così via via per tutti i $ k\in[\tfrac{1}{2011}, \tfrac{2011}{2011}] $ quindi p(k)=0
e quindi il risultato è:
$ \tfrac{\sum_{k=1}^{2011} k}{2011} = 1006 $

[karlosson_sul_tetto]

Rompiscatole mode on: chi ti assicura che non ci siano altre radici?

[Simone97]

Consideriamo altre soluzioni $ r $ del tipo $ r=\tfrac{k}{2011} $ con $ k $ che appartiene a (come si fa in simboli?) $ \mathbb{Z} $.
Se $ r>1 $, per $ \tfrac{r}{r-1} P(r)=P(r+\tfrac{1}{2011}) $, ogni $ k>2011 $ darebbe origine a una soluzione. Il polinomio avrebbe dunque infinite soluzioni, e ciò contraddice l'ipotesi di polinomio non identicamente nullo.
Per $ k<0 $ la situazione è analoga, e se $ 2011r $ non è intero, in modo identico si dimostra che il polinomio ha infinite soluzioni.
Dunque le soluzioni del polinomio sono comprese tra $ 0 $ e $ 1 $ e sono esprimibili come $ \tfrac{k}{2011} $, con $ k $ appartenente a $ \mathbb{Z} $.
Ha senso?

[erFuricksen]

Due cose:

1) puoi dire che è identicamente nullo per $r=1$ e $r=0$ ma non per radici esterne a questo intervallo; prendiamo ad esempio $r=2$, allora avremo
$2P(2)=P(2+{1 \over 2011})$ del quale non puoi dire nulla nel modo in cui lo dici per 0 e 1
2) nell'intervallo (0,1) hai determinato tutte le soluzioni dell'insieme $\mathbb{Z} / 2011$ ma non hai dimostrato che non è valido per tutti gli altri valori del campo dei reali; per esempio potrei dirti che $\sqrt{2} -1$ è radice.. o no?

[Simone97]

Forse ho spiegato male, ma se supponi che $ P(2)=0 $ allora hai che $ 2P(2)=P(2+\tfrac{1}{2011})=0 $ e analogamente $ P(2+\tfrac{2}{2011})=0 $, ecc.
La stessa cosa vale per i reali generici.

[PIELEO13]

Karlosson_sul_tetto mi sono accorto ora di quello che mi avevi scritto hahaha.
Comunque Simone 97 bella la tua risposta

[Simone97]

Grazie