imo 1969/1

[luca95]

Mi accodo a coloro che tentano di risollevare il forum postando qualche problema

Dimostrare che esistono infiniti numeri naturali $ a $ con la seguente proprietà:
il numero $ z=n^4+a $ non è primo per nessun numero naturale $ n $.

[Ratman98]

Mi pare di capire che z è primo per ogni n naturale. Ma stando così le cose non esiste a in grado di soddisfare le condizioni richieste, poiché n può essere sia pari sia dispari, quindi qualunque sia a, z sarà pari per infiniti valori di n e quindi non primo. Ne inferisco che ho travisato la traccia; se quindi potessi chiarirmi.

[matpro98]

Credo che sia: per ogni n, z non è primo

[Ratman98]

Grazie mille!

[polarized]

Ci provo:

Testo nascosto:

Pongo $ a=4b^4 $ con $ b\ge 5 $ (per semplicità, così mi evito i casi piccoli)
Sostituisco e per l'identità di Sophie Germain si può scomporre il tutto in
$ z=(n^2-2nb+2b^2)(n^2+2nb+b^2) $
L'unica possibilità che z sia primo si ha quando $ n^2-2nb+2b^2=1 $ ma se $ b\ge 5 $ si dimostra per induzione che il determinante dell'equazione è sempre negativo per ogni b che rispetti le ipotesi, quindi anche quel fattore sarà sempre maggiore strettamente di 1 e z sarà un prodotto di due numeri diversi da uno.
Poichè esistono infiniti b di conseguenza esisteranno anche infiniti a tali che preso un qualsiasi n z non è primo

[luca95]

Bene! Farsi venire in mente quell'identità uccide il problema in due secondi

[polarized]

Bel problema, certo che l'esponente 4 fa sempre molto sospettare che torni utile in questi casi