Determinare per quali $ n $ interi positivi la seguente equazione ha esattamente 2013 soluzioni reali positive
$ \frac{1}{x\ +\ n^{-2}} = \lfloor{\frac{1}{x}-n^{-2}}\rfloor $
Ovviamente $ \lfloor{y}\rfloor $ denota la parte intera di $ y $
Questo è un testo di Algebra Preimo 2013... Mi interessava perché compare la parte intera, solo che non ho idea di come approcciarmi a un problema di questo tipo.. ho bisogno soprattutto di TANTE idee su cui ragionare quando entra in ballo $ \lfloor{y}\rfloor $. Vi prego, suggeritemi qualcosa, help me!
PREIMO 2013
Re: PREIMO 2013
Ripropongo: qualcuno mi aiuti please
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Re: PREIMO 2013
In realtà questo problema non ha molto a che fare con le parti intere: potresti iniziare dimostrando che ogni soluzione $x$ di quell'equazione è un numero razionale, e che in effetti si scrive $1/a-1/n^2$ per un certo intero $a$. Poi potresti anche dimostrare che $a$ è positivo. Infine, la definizione di parte intera è $\left\lfloor y \right\rfloor = k \Longleftrightarrow k \leq y < k+1$... mettendo insieme questi fatti arrivi ad un problema che coinvolge solo disuguaglianze (e che poi andrà risolto... ma intanto le parti intere sono sparite! )
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Re: PREIMO 2013
Ok, proviamo così, qualcuno mi corregga se sbaglio..
Testo nascosto:
Ultima modifica di erFuricksen il 09 set 2015, 16:47, modificato 2 volte in totale.
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
Re: PREIMO 2013
A quanto rimembro da quanto ho fatto per il Senior (era tra i problemi di ammissione) il risultato era $n=2014$
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Re: PREIMO 2013
Ok, è arrivato il momento di chiudere la questione in questo topic.
Voglio ringraziare @LucaMac per avermi scovato l'errore di calcolo, ora posso mostrare che la mia soluzione era giusta tranne che per i conti
Non ho modificato quello originale per mantenere la cronologia dei fatti.. finalmente chiusa la questione!
Voglio ringraziare @LucaMac per avermi scovato l'errore di calcolo, ora posso mostrare che la mia soluzione era giusta tranne che per i conti
Testo nascosto:
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
Re: PREIMO 2013
Alternativa?!?
Per comodità, si ponga ${{n}^{-2}}=a,n\ge 1$ e sia $\frac{1}{x\ +\ {{n}^{-2}}}=\left\lfloor \frac{1}{x}-{{n}^{-2}} \right\rfloor =m$.
Dovendo essere $x>0$ e NON essendo mai nullo RHS di (*), dovrà essere $m\ge 1,m\in \mathbb{N}$.
Inoltre $\frac{1}{x\ +\ a}=m\Rightarrow x=\frac{1}{m}-a>0\Rightarrow m<{{n}^{2}}$.
Per definizione di FLOOR si deve avere $m\le \frac{1}{x}-a<m+1\Rightarrow 0\le \frac{m}{1-a\cdot m}-a-m<1\Rightarrow 0\le \frac{a\cdot m\cdot (a+m)-a}{1-a\cdot m}<1$ .
Ma
$\begin{align}
& \frac{a\cdot m\cdot (a+m)-a}{1-a\cdot m}<1\Rightarrow a\cdot m\cdot (a+m)-a<1-a\cdot m\Rightarrow \\
& \Rightarrow m\cdot (a+m+1)<\frac{a+1}{a}=1+{{n}^{2}}\Rightarrow m\cdot \left( \frac{1}{{{n}^{2}}}+m+1 \right)<\frac{a+1}{a}=1+{{n}^{2}}\Rightarrow \\
& \Rightarrow m\cdot \left( \frac{1}{{{n}^{2}}}+m+1 \right)<1+{{n}^{2}}\overset{m<{{n}^{2}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,m\cdot \left( m+1 \right)<1+{{n}^{2}}.\quad (**) \\
\end{align}$
Se $m=n$ , (**) NON è verificata: ma per $m\le n-1$ SI !!!
Poiché il problema chiede che esistano esattamente 2013 valori per $m$, allora dovrà essere $n=2014.$ □
Per comodità, si ponga ${{n}^{-2}}=a,n\ge 1$ e sia $\frac{1}{x\ +\ {{n}^{-2}}}=\left\lfloor \frac{1}{x}-{{n}^{-2}} \right\rfloor =m$.
Dovendo essere $x>0$ e NON essendo mai nullo RHS di (*), dovrà essere $m\ge 1,m\in \mathbb{N}$.
Inoltre $\frac{1}{x\ +\ a}=m\Rightarrow x=\frac{1}{m}-a>0\Rightarrow m<{{n}^{2}}$.
Per definizione di FLOOR si deve avere $m\le \frac{1}{x}-a<m+1\Rightarrow 0\le \frac{m}{1-a\cdot m}-a-m<1\Rightarrow 0\le \frac{a\cdot m\cdot (a+m)-a}{1-a\cdot m}<1$ .
Ma
$\begin{align}
& \frac{a\cdot m\cdot (a+m)-a}{1-a\cdot m}<1\Rightarrow a\cdot m\cdot (a+m)-a<1-a\cdot m\Rightarrow \\
& \Rightarrow m\cdot (a+m+1)<\frac{a+1}{a}=1+{{n}^{2}}\Rightarrow m\cdot \left( \frac{1}{{{n}^{2}}}+m+1 \right)<\frac{a+1}{a}=1+{{n}^{2}}\Rightarrow \\
& \Rightarrow m\cdot \left( \frac{1}{{{n}^{2}}}+m+1 \right)<1+{{n}^{2}}\overset{m<{{n}^{2}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,m\cdot \left( m+1 \right)<1+{{n}^{2}}.\quad (**) \\
\end{align}$
Se $m=n$ , (**) NON è verificata: ma per $m\le n-1$ SI !!!
Poiché il problema chiede che esistano esattamente 2013 valori per $m$, allora dovrà essere $n=2014.$ □