Interi coprimi
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Interi coprimi
Dimostrare che per ogni intero positivo $n$ esistono $k_0,k_1,k_2,\cdots,k_n$ interi a due a due coprimi $>1$ tali che $$\displaystyle \prod_{i=0}^n k_i + 1= x^2+x$$ per qualche $x$ intero positivo.
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Re: Interi coprimi
Provo una soluzione sperando di non sparare idiozie...
Si proceda per induzione su $n$.
$a)$ Si analizzi il caso base ($n=0$)
$x(x+1)-1=p_{0}^{\alpha _{0}}$ che ha fra le diverse soluzioni $p_{0}=5, \alpha_{0}=1, x=2$
$b)$ Si proceda con il passo induttivo.
Supposto vero che esiste un numero $x$ arbitrario tale che valga la relazione di cui sopra con $0 \leq i \leq n$, occorre dimostrare che un tale numero esiste anche per $0 \leq i \leq n+1$.
Si noti, quindi, che l'$n+1-esimo$ fattore è coprimo con tutti gli altri $n$ $k_{i}$; pertanto, è possibile moltiplicarlo ad uno qualsiasi di questi ultimi senza contravvenire all'ipotesi originaria di coprimalità ottenendo un prodotto di $n$ per il quale l'esistenza di un $x$ arbitrario è vera per ipotesi.
Si proceda per induzione su $n$.
$a)$ Si analizzi il caso base ($n=0$)
$x(x+1)-1=p_{0}^{\alpha _{0}}$ che ha fra le diverse soluzioni $p_{0}=5, \alpha_{0}=1, x=2$
$b)$ Si proceda con il passo induttivo.
Supposto vero che esiste un numero $x$ arbitrario tale che valga la relazione di cui sopra con $0 \leq i \leq n$, occorre dimostrare che un tale numero esiste anche per $0 \leq i \leq n+1$.
Si noti, quindi, che l'$n+1-esimo$ fattore è coprimo con tutti gli altri $n$ $k_{i}$; pertanto, è possibile moltiplicarlo ad uno qualsiasi di questi ultimi senza contravvenire all'ipotesi originaria di coprimalità ottenendo un prodotto di $n$ per il quale l'esistenza di un $x$ arbitrario è vera per ipotesi.
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Re: Interi coprimi
Perdonami ma non ho capito, potresti spiegarlo meglio?
Re: Interi coprimi
Se non ho capito male, lui dice: $k_{n+1}$ è coprimo con i $k_i $, quindi posso prendere al posto di $k_a $ il numero $k_ak_{n+1} $ in modo da ricadere nel caso precedente per cui esiste $x $ per ipotesi induttiva
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Re: Interi coprimi
Penso che il caso base sia chiaro, perciò esprimo diversamente solo il punto $b$.
Sostanzialmente, l'idea di fondo è che si passa dal caso con $n$ a quello con $n+1$ moltiplicando per $k_{n+1}$. A questo punto notiamo che, per ipotesi, $k_{n+1}$ è coprimo con $k_{0}, k_{1}, ..., k_{n}$ così come lo è ogni altro $k_{i}$. Pertanto, moltiplicando un fattore $k_{i}$ con $k_{n+1}$ otteniamo un nuovo fattore $h_{i}=k_{i} \cdot k_{n+1}$ coprimo con tutti gli altri e si ricade nel caso con $n$ fattori per il quale esiste il numero $x$ arbitrario richiesto, come supposto nelle ipotesi induttive.
EDIT: matpro è arrivato prima di me... Ora, domanda: è corretto il ragionamento?
Sostanzialmente, l'idea di fondo è che si passa dal caso con $n$ a quello con $n+1$ moltiplicando per $k_{n+1}$. A questo punto notiamo che, per ipotesi, $k_{n+1}$ è coprimo con $k_{0}, k_{1}, ..., k_{n}$ così come lo è ogni altro $k_{i}$. Pertanto, moltiplicando un fattore $k_{i}$ con $k_{n+1}$ otteniamo un nuovo fattore $h_{i}=k_{i} \cdot k_{n+1}$ coprimo con tutti gli altri e si ricade nel caso con $n$ fattori per il quale esiste il numero $x$ arbitrario richiesto, come supposto nelle ipotesi induttive.
EDIT: matpro è arrivato prima di me... Ora, domanda: è corretto il ragionamento?
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Re: Interi coprimi
Non saprei, per ogni caso potresti avere $x $ univocamente determinato e quindi non potresti applicare l'ipotesi induttiva...
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Re: Interi coprimi
L'ipotesi induttiva è che per ogni $ n $ esiste almeno una n-upla $ k_1,k_2,...,k_n $ di interi due a due coprimi che soddisfa le condizioni del problema e non che ogni n-upla $ k_1,k_2,...,k_n $ di interi a due a due coprimi la soddisfa. Quindi supposto che $ k_1,k_2,...,k_n $ soddisfi le condizioni nulla mi dice che anche $ k_1,k_2,...,k_nk_{k+1} $ le soddisfi.
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Re: Interi coprimi
A questo non avevo pensato, vedo che riesco ad inventarmi
Re: Interi coprimi
Provo
Testo nascosto:
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.