Lanci di una moneta

[Pigkappa]

Ho 50€ e prendo parte al seguente gioco. Lancio ripetutamente una moneta; per ogni testa vinco 2€, per ogni croce perdo 1€. Qual e' la probabilita' che a un certo punto mi ritrovo con 0€ ?


[penso esista una soluzione elementare e non troppo difficile, ma io non sono ancora riuscito a farlo!]

[Lasker]

La soluzione elementare esiste ed è molto carina (e lo è anche il risultato )

[luca95]

Testo nascosto:

$ \frac{1}{\phi^{50}} $? ($ \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}) $

La mia dimostrazione (se si può definire tale) fa un po' schifo, se riesco a sistemarla la metto stasera

[Pigkappa]

Si', la risposta e' giusta

[luca95]

Non ho avuto il tempo di rivederla comunque l'idea è questa:

Testo nascosto:

Detta f(n) la probabilità di arrivare a 0 partendo da n si ha
$ f(n)=\frac{1}{2}f(n-1)+\frac{1}{2}f(n+2) $
ovvero $ 2f(n)=f(n-1)+f(n+2) $
che possiamo scrivere come $ f(n)-f(n-1)=(f(n+2)-f(n+1))+(f(n+1)-f(n)) $
da cui vediamo che le differenze tra due probabilità successive vanno come i fibonacci (che però invece di partire da 1 ed andare all'infinito vanno al contrario, ovvero dall'infinito vanno a 0), è molto vaga come idea ma da qui penso che formalizzando si dovrebbe riuscire a concludere che $ f(n)=k\phi^{-n}\hspace{0.3cm} $ e imponendo [math]f(0)=1\hspace{0.3cm} si trova [math]f(n)=\phi^{-n}.

[Lasker]

@luca95: prova a mostrare (si tratta più di accorgersene che di dimostrarlo ) che vale

Testo nascosto:

$p(a+b)=p(a)p(b)\ \ \ \forall\ a,b\in \mathbb{N}^2$

e i conti per la ricorrenza vengono davvero meglio

[luca95]

Testo nascosto:

Uuh bello, in effetti così ti riconduci ad un'equazione di Cauchy che ha come soluzione (sotto opportune ipotesi che non ho intenzione di verificare ) $ p(n)=k^n $, da $ 2k^n=k^{n-1}+k^{n+2}\hspace{0.6cm} $ escludendo le radici prive di senso troviamo in effetti $ k=\frac{1}{\phi} $