FST problema 1
FST problema 1
Trovare tutte le $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ tale che
$ 2f(x)=f(x+y)+f(x+2y) $
Per ogni x reale e ogni y reale non negativo.
$ 2f(x)=f(x+y)+f(x+2y) $
Per ogni x reale e ogni y reale non negativo.
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Re: FST problema 1
Per curiosità, che intendi per FST? Perché mi sembra di aver già visto questa funzionale qualche tempo fa
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- karlosson_sul_tetto
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Re: FST problema 1
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"Chissa se la fanno anche da asporto"
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Re: FST problema 1
Beh, una strategia del genere si è vista anche in altre funzionali, magari sono molto simili!
(in questa basta anche solo farsi due conticini ammano)
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Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: FST problema 1
Funktionsgleichung uber alles!
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"La zuppa magica dedicata a te Gianluca"
"È "iamo", non rompere i coglioni"
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Re: FST problema 1
*überKfp ha scritto:Funktionsgleichung uber alles!
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"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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Re: FST problema 1
Ci provo...
Testo nascosto:
Re: FST problema 1
Attento: le ipotesi valgono solo per y non negativo. La (1) ad esempio vale per ogni $y \geq 0$
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Re: FST problema 1
Ah si scusa non l'ho proprio letto xD
Re: FST problema 1
wlog come Giovanni $f(0)=1$.
Ponendo $x\mapsto -y$ otteniamo:
\[f(-y)=\frac{f(y)+1}2 \hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\hspace{1cm} (\star)\]
Ponendo $x\mapsto -2y$ otteniamo:
\[f(-2y)=\frac{f(-y)+1}2 \hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\]
Per $(\star)$ su $y$, sappiamo che:
\[\frac{f(-y)+1}2=\frac{f(y)+3}4 \hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\]
Per $(\star)$ su $2y$, sappiamo che:
\[f(-2y)=\frac{f(2y)+1}2 \hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\]
Dunque:
\[f(2y)=\frac{f(y)+1}2 \hspace{1cm}\forall\ y\in\mathbb{R}.\hspace{1cm}(\ast)\]
Ponendo nel testo $x\mapsto 0$ otteniamo:
\[2=f(y)+f(2y)\hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\]
Ora applicando $(\ast)$ otteniamo che $f(y)=1$ per ogni $y\ge0$.
Ora per $(\star)$ otteniamo che $f(-y)=1$ per ogni $y\ge0$.
Dunque la soluzione è la costante $f(x)=1$. Inoltre a causa del wlog iniziale, estendiamo l'insieme delle soluzioni a tutte quelle con $f(x)=k$ con $k\in\mathbb{R}$ costante per ogni $x$ reale.
Verifichiamo che le soluzioni trovate risolvono: è banale ($2k=k+k$).
Ponendo $x\mapsto -y$ otteniamo:
\[f(-y)=\frac{f(y)+1}2 \hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\hspace{1cm} (\star)\]
Ponendo $x\mapsto -2y$ otteniamo:
\[f(-2y)=\frac{f(-y)+1}2 \hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\]
Per $(\star)$ su $y$, sappiamo che:
\[\frac{f(-y)+1}2=\frac{f(y)+3}4 \hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\]
Per $(\star)$ su $2y$, sappiamo che:
\[f(-2y)=\frac{f(2y)+1}2 \hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\]
Dunque:
\[f(2y)=\frac{f(y)+1}2 \hspace{1cm}\forall\ y\in\mathbb{R}.\hspace{1cm}(\ast)\]
Ponendo nel testo $x\mapsto 0$ otteniamo:
\[2=f(y)+f(2y)\hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\]
Ora applicando $(\ast)$ otteniamo che $f(y)=1$ per ogni $y\ge0$.
Ora per $(\star)$ otteniamo che $f(-y)=1$ per ogni $y\ge0$.
Dunque la soluzione è la costante $f(x)=1$. Inoltre a causa del wlog iniziale, estendiamo l'insieme delle soluzioni a tutte quelle con $f(x)=k$ con $k\in\mathbb{R}$ costante per ogni $x$ reale.
Verifichiamo che le soluzioni trovate risolvono: è banale ($2k=k+k$).
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