[Ammissione WC16] TdN 1: Minimo di funzione

[Talete]

NON pubblicate la soluzione prima delle 23:59 di oggi!

Sia $p$ un primo dispari. Consideriamo l'insieme
\[\mathcal S:=\{(x,y)\in\mathbb{N}^2 : \sqrt{2p}-\sqrt{x}-\sqrt{y}>0\}.\]

Determinare
\[\min\{\sqrt{2p}-\sqrt{x}-\sqrt{y} : (x,y)\in\mathcal S\}.\]

[AlexThirty]

Testo nascosto:

$ x+y=A $ supponiamo sia fissato. Quando $ \sqrt{x}+\sqrt{y} $ è massimo?

Testo nascosto:

Ora, trova un bound per $ A $

Testo nascosto:

Per $ A=p $ si ha il minimo possibile, ma se $ A>p $ cosa succede? Come eliminiamo queste possibilità?

[Talete]

Altre cose che portano più o meno alla stessa soluzione:

Testo nascosto:

Provare per credere: la primalità non serve. Basta $p$ dispari!

Testo nascosto:

Sui reali quanto sarebbe il minimo? È poi tanto diverso sugli interi?

[Saro00]

Hint per un altra soluzione

Testo nascosto:

Razionaliziamo al contrario il più possibile, nel senso che vogliamo portare a denominatore tutte le radici e il numeratore un numero intero.

Testo nascosto:

Riusciamo a escludere i casi in cui il numeratore é maggiore di 1?

Testo nascosto:

Beh, abbiamo finito, perché con la primalitá di p, guardiamo modulo p il numeratore e c'é solo un caso in cui il numeratore é 1.

[gpzes]

Mi scuso per postare esplicitamente un “tentativo” di soluzione ma volevo sottoporlo per un riscontro sulla correttezza.
Anche per sostenere quanto detto da Talete .
Dim.
Iª Parte)
Sia $p\ge 3$ DISPARI $p=2k+1$ e WLOG $x\le y$.
$\begin{align}
& \left( x;y \right)\in S\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}<\sqrt{2p}\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}<2p\Rightarrow \\
& 4\sqrt{xy}\ \overset{AM-GM}{\mathop{\le }}\,x+y+2\sqrt{xy}<2p\Rightarrow 4xy<{{p}^{2}}\Rightarrow xy<\frac{{{p}^{2}}}{4}=\frac{4{{k}^{2}}+4k+1}{4}={{k}^{2}}+k+\frac{1}{4} \\
& \Rightarrow xy\le {{\left( \frac{p-1}{2} \right)}^{2}}+\left( \frac{p-1}{2} \right)\Rightarrow xy\le \left( \frac{p-1}{2} \right)\cdot \left( \frac{p+1}{2} \right). \\
\end{align}$

La coppia $\left( x;y \right)=\left( \frac{p-1}{2};\frac{p+1}{2} \right)\in S$ quindi $\sqrt{2p}-\sqrt{\frac{p-1}{2}}-\sqrt{\frac{p+1}{2}}$ è un candidato per minimo.

IIª Parte)
Claim: $\sqrt{2p}-\sqrt{\frac{p-1}{2}}-\sqrt{\frac{p+1}{2}}$ È il minimo su S.
Dim.
(Per assurdo!) Sia $\left( x;y \right)\in S$ tale che $0<\sqrt{2p}-\sqrt{x}-\sqrt{y}<\sqrt{2p}-\sqrt{\frac{p-1}{2}}-\sqrt{\frac{p+1}{2}}$.
Allora, essendo $p-1<\sqrt{{{p}^{2}}-1}$, si ha:
$\begin{align}
& \frac{p-1}{2}+\frac{p+1}{2}+\sqrt{{{p}^{2}}-1}<x+y+2\sqrt{xy}<2p\Rightarrow 2p-1<p+\sqrt{{{p}^{2}}-1}<x+y+2\sqrt{xy}<2p\Rightarrow \\
& 2p-1<x+y+2\sqrt{xy}<2p.\quad (*) \\
\end{align}$
Ma la relazione (*) è assurda, essendo $\left( x;y \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$. (NON esisterebbero tali x,y!) 

[karlosson_sul_tetto]

(Non sono LucaMac ma prendo in prestito il suo diritto di rispondere)

$
2p-1<x+y+2\sqrt{xy}<2p.\quad (*) $
Ma la relazione (*) è assurda, essendo $\left( x;y \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$. (NON esisterebbero tali x,y!) 

Purtroppo questo non basta: $2\sqrt{xy}$ è (di solito) un numero irrazionale e quindi non intero; sommato a x e y, potrebbe diventare un qualsiasi irrazionale compreso tra $2p-1$ e $2p$.

[gpzes]

Grazie karlosson per pronta risposta ...
è vero..mi scuso per errore ...inizio bene Anno Nuovo
Vedo di modificare (cerco sempre soluzione "semplice" e che forse eviti primalità)