[Ammissione WC16] Geometria 3: Punti medi allineati

[Talete]

NON pubblicate la soluzione prima delle 23:59 di oggi!

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo, $O$ il suo circocentro, $\Gamma$ la circonferenza circoscritta. Sia $D$ un punto su $BC$ tale che $\angle BAD = \angle CAO$. Sia $E$ il secondo punto di intersezione di $AD$ e $\Gamma$. Se $M$, $N$ e $P$ sono rispettivamente i punti medi dei segmenti $BE$, $OD$ e $AC$, dimostrare che sono allineati $M$, $N$ e $P$.

[AlexThirty]

Cosa sappiamo dire sul poligono delimitato da

Testo nascosto:

Punti medi di due lati opposti e punti medi delle diagonali?

[Talete]

Non ho ben capito la tua, ma secondo me è d'uopo chiedersi:

Testo nascosto:

$OPDM$ è un parallelogramma?

[Saro00]

E se aggiungessi che

Testo nascosto:

Fatto noto (legato alla retta di Eulero) é che il segmento che unisce H (ortocentro) e A é il doppio del segmento che unisce O (circocentro) e P (punto medio di BC)

[Kepler97]

Scusate se non metto testo nascosto ma non so come si fa...
Una piccola cosa che velocizza la soluzione in complessi (comunque corta) è notare che $E$ è il simmetrico di $ H$ rispetto a $D$, trovi $d$ e sai che $h=a+b+c$ quindi dopo trovi $E$ dalla relazione $ \frac{h+e}{2}=d $
Per il resto la mia soluzione è uguale a quella di lucada23