Incentro circocentrico e circocentro incentrico

[karlosson_sul_tetto]

Sia dato un triangolo $ABC$ con tre punti $A_1,B_1,C_1$ sui lati $BC,AC,AB$ rispettivamente, tali che valga la seguente condizione:
$$AB_1-AC_1=BC_1-BA_1=CA_1-CB_1$$
Siano $I_A,I_B,I_C$ e $O_A,O_B,O_C$ rispettivamente gli incentri e i circocentri dei triangoli $AB_1C_1$,$A_1BC_1$,$A_1B_1C$.
Dimostrare che l'incentro $I$ di ABC è incentro di $O_AO_BO_C$ e circocentro di $I_AI_BI_C$.

[igoh]

Problema molto carino
Una domanda abbastanza spoilerosa/hintosa

Testo nascosto:

Siano $A_2,B_2,C_2$ le intersezioni delle circonferenza di centri $B,C,A$ e raggio $BA_1,CB_1,AB_1$ con $AB,BC,CA$.
La circonferenza per $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2,I_A,I_B,I_C$ è la Feuerbach di qualcosa?