Diofantee esponenziali
Diofantee esponenziali
Ci sono tecniche standard che permettono di risolvere cose del tipo $a^x+b^y=c^z$ con $a,b,c $ fissati?
Re: Diofantee esponenziali
Non penso, almeno non per tutte. Ti faccio un esempio..
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- FrancescoVeneziano
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Re: Diofantee esponenziali
Non è elementare, non ha applicazioni olimpiche e dà disuguaglianze troppo larghe per poter essere utile senza un computer, ma il metodo c'è:
https://en.wikipedia.org/wiki/S-unit#S-unit_equation
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_fo ... logarithms
Fissati a,b,c si può calcolare esplicitamente un numerone C tale che $ |x|,|y|,|z|<C $ e a questo punto la diofantea in linea teorica è risolta.
Solo che a farlo in pratica C viene immensamente grande e uno se ne fa poco.
Lo dico solo per conoscenza, ma non ha nessuna utilità per le olimpiadi!
https://en.wikipedia.org/wiki/S-unit#S-unit_equation
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_fo ... logarithms
Fissati a,b,c si può calcolare esplicitamente un numerone C tale che $ |x|,|y|,|z|<C $ e a questo punto la diofantea in linea teorica è risolta.
Solo che a farlo in pratica C viene immensamente grande e uno se ne fa poco.
Lo dico solo per conoscenza, ma non ha nessuna utilità per le olimpiadi!
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Re: Diofantee esponenziali
E olimpicamente? Solo intuito e pratica?
- FrancescoVeneziano
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Re: Diofantee esponenziali
La prima cosa da fare secondo me dovrebbe essere di guardare l'equazione modulo qualche primo/potenza di primo. Questo impone delle condizioni sugli esponenti, nella forma di congruenze modulo l'ordine moltiplicativo della base.
Per usare l'esempio di jordan, $5^x+7^y=2^z$ guardata modulo 4 diventa $(-1)^y\equiv -1 \pmod 4$ ovvero y dispari.
Primi diversi danno informazioni diverse e queste si possono usare per estrarre informazione con moduli sempre più grossi. Alla fine se sei fortunato si incastrano bene e ne esce una dimostrazione. Ma questo accade di rado, più spesso ti ritrovi con una relazione modulo 81 che gli esponenti devono soddisfare e non sai che fartene.
Prova tu stesso. Prendi $3^x-2^y=5^z$ e vedi cosa riesci a dire.
Per usare l'esempio di jordan, $5^x+7^y=2^z$ guardata modulo 4 diventa $(-1)^y\equiv -1 \pmod 4$ ovvero y dispari.
Primi diversi danno informazioni diverse e queste si possono usare per estrarre informazione con moduli sempre più grossi. Alla fine se sei fortunato si incastrano bene e ne esce una dimostrazione. Ma questo accade di rado, più spesso ti ritrovi con una relazione modulo 81 che gli esponenti devono soddisfare e non sai che fartene.
Prova tu stesso. Prendi $3^x-2^y=5^z$ e vedi cosa riesci a dire.
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Re: Diofantee esponenziali
Sempre per usare quella di jordan, si usano moduli come 43, 49, e così via... qualche informazione l'avevo trovata anche io, ma non abbastanza da concludere perché moduli come quelli non mi sono venuti in mente.
Per l'esercizio che mi hai dato, ci penserò su
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