Almeno un $a_i=1/2$

[jordan]

(8. Da qui) Dati $a_1,\ldots,a_n \in (0,1)$, definiamo
$$
f(I)=\prod_{i \in I}a_i \cdot \prod_{j\notin I}(1-a_j)
$$
per ogni $I\subseteq \{1,\ldots,n\}$. Sapendo che
$$
\sum_{\substack{I\subseteq \{1,\ldots,n\} \\ |I| \text{ dispari }}}f(I)=\frac{1}{2},
$$
mostrare che almeno un $a_i$ deve essere $\frac{1}{2}$.

[Simo_the_wolf]

Molto simpatico!

Testo nascosto:

$ \displaystyle 1= \prod_{ i =1}^n ((1-a_i) + a_i ) = \sum_{|I| \text{ pari}} f(I) + \sum_{|I| \text{ dispari}} f(I) $

Quindi $ \sum_{|I| \text{ pari}} f(I) = \sum_{|I| \text{ dispari}} f(I) = 1/2 $. Ma allora

$ \displaystyle \prod_{i=1}^n (1-2a_i) = \prod_{ i =1}^n ((1-a_i) - a_i ) = \sum_{|I| \text{ pari}} f(I) - \sum_{|I| \text{ dispari}} f(I)=0 $

E quindi almeno uno dei fattori nella produttoria è nullo ma quindi almeno uno degli $ a_i $ è uguale a $ 1/2 $. Notare che in effetti si potrebbe prendere anche che $ a_i \in \mathbb{C} $, essendo dei calcoli puramente algebrici

[jordan]

Ottimo Simo

[Anér]

Riformulo e rilancio. Abbiamo $n$ monete, ognuna ha probabilità $a_i$ di dare testa (ma per noi la testa vale 1) e $1-a_i$ di dare croce (ma per noi la croce vale 0). Se lanciamo le monete, la probabilità che la somma sia pari è uguale a quella che la somma sia dispari. Mostrare che almeno una moneta è equilibrata.

Ora si prendano $n$ dadi a tre facce: ognuno ha probabilità $a_i$ di dare testa (che per noi vale 1), $b_i$ di dare croce (che per noi vale 2) e $1-a_i-b_i$ di dare l'uomo di Vitruvio (che per noi vale 3). Se lanciamo i dadi, le probabilità che la somma sia rispettivamente congrua a 1, 2 o 3 modulo 3 sono tutte uguali. Allora almeno un dado è equilibrato!

Purtroppo ci si ferma a 3 facce...