Come recentemente scoperto qui, si ha che l'area del triangolo pedale di un punto $P$ è proporzionale a $|OP^2-R^2|/R^2$. Ora invece consideriamo un punto $P$ e le sue proiezioni $D$, $E$, $F$ su $BC$, $CA$, $AB$ rispettivamente; poniamo $p=DP$, $q=EP$, $r=FP$ (distanze con segno, as usuale) e notiamo che l'area del triangolo $DEP$, opportunamente orientata rispetto a quella del triangolo $DEF$, è data da
$$[DEP]=\dfrac{1}{2}DP\cdot EP\cdot \sin(\widehat{DPE})=\dfrac{1}{2}pq\sin\gamma=\dfrac{1}{2}xy\dfrac{c}{2R}=\dfrac{1}{4R}cpq=\dfrac{c}{4R}\dfrac{2[BCP]}{a}\dfrac{2[CAP]}{b}=\dfrac{c^2[BCP][CAP]}{Rabc}$$
e dunque
$$[DEF]=\dfrac{1}{Rabc}(c^2[BCP][CAP]+b^2[BCP][ABP]+a^2[CAP][ABP])$$
Mettendo insieme questi due risultati per l'area di $[DEF]$,abbiamo che $OP=OR$ se e solo se $[DEF]=0$ se e solo se $c^2[BCP][CAP]+b^2[BCP][ABP]+a^2[CAP][ABP]$ se e solo se
$$a^2yz+b^2xz+c^2xy=0$$
dove $[x: y:z]$ sono le coordinate baricentriche di $P$. Questa è dunque l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo $ABC$.
Fatto 9 La tangente alla circoscritta in un suo punto $P=[u: v:w]$ è data da
$$a^2(vz+yw)+b^2(uz+xw)+c^2(uy+xv)=0\;.$$
Dim: La tangente è l'unica retta per $P$ che non incontra ulteriormente la circonferenza. Dunque vogliamo dimostrare che il sistema
$$(\clubsuit) \qquad\left\{\begin{array}{rcl}a^2yz+b^2xz+c^2xy&=&0\\a^2(vz+yw)+b^2(uz+xw)+c^2(uy+xv)&=&0\end{array}\right.$$
ha come unica soluzione $[u: v:w]$ (sapendo che tale terna è soluzione anche della prima equazione). Per farlo, sostituiamo
$$x=u+X,\quad y=v+Y,\quad z=w+Z$$
dimenticandoci delle coordinate baricentriche e vendendoci completamente all'algebra.
Otteniamo (provare per credere!)
$$(\diamondsuit) \qquad\left\{\begin{array}{rcl}a^2YZ+b^2XZ+c^2XY+a^2(vZ+Yw)+b^2(uZ+Xw)+c^2(uY+Xv)&=&0\\a^2(vZ+Yw)+b^2(uZ+Xw)+c^2(uY+Xv)&=&0\end{array}\right.$$
che è ovviamente equivalente a $(\clubsuit)$. Dunque, se $[p:q:r]$ è una soluzione di $(\clubsuit)$ diversa da $[u: v:w]$, allora tutte le terne $(\lambda p, \lambda q, \lambda r)$ sono soluzioni di $(\diamondsuit)$ e, ripercorrendo indietro la sostituzione, tutte le terne $[u+\lambda p:v+\lambda q:w+\lambda r]$ sono soluzioni di $(\clubsuit)$.
Al variare di $\lambda$, queste ultime sono tutte terne omogenee diverse: se infatti
$$\dfrac{u+\lambda p}{v+\lambda q}=\dfrac{u+\mu p}{v+\mu q}$$
allora $uv+\mu uq+\lambda vp+\lambda \mu pq=uv+\mu vp+\lambda uq + \lambda\mu qp$ ovvero $\lambda (vp-uq)=\mu(vp-uq)$ e similmente confrontando le altre coordinate. Quindi, se $\lambda\neq \mu$, l'unica possibilità per cui questi valori diano la stessa terna omogenea è che $vp-uq=wp-ur=wq-vr=0$, ma questo succede se e solo se $[u: v:w]=[p:q:r]$.
D'altra parte, se scegliamo $p$, $q$, $r$ di modo che $p+q+r=u+v+w$ (e possiamo! perché?), possiamo interpretare $[u+\lambda p:v+\lambda q: w+\lambda r]$ come la retta che passa per i punti $[u: v:w]$ e $[p:q:r]$. Dunque, se esiste una soluzione a $(\clubsuit)$ diversa da $[u: v:w]$, tutti i punti della retta per le due soluzioni sono soluzioni, ovvero la circonferenza circoscritta contiene una retta, che è assurdo. Dunque l'unica soluzione è $[u: v:w]$.
Esercizio 31 Scrivere le tangenti alla circoscritta nei seguenti punti:
- i vertici
- i punti medi degli archi $AB$, $BC$, $CA$
- i simmetrici di $H$ rispetto ai lati
- i simmetrici di $H$ rispetto ai punti medi dei lati
- il simmetrico di $A$ rispetto al diametro perpendicolare a $BC$
Esercizio 33 Sia $P=[-a^2(b+c)^2:b^2(b^2+c^2):c^2(b^2+c^2)]$. Verificare che $P$ non sta sulla circonferenza circoscritta e, dette $[u: v:w]$ le sue coordinate, considerare la retta
$$a^2(vz+yw)+b^2(uz+xw)+c^2(uy+xv)=0\;,$$
determinando le sue intersezioni con la circoscritta, se esistono. Chiamate $X$, $Y$ tali intersezioni, calcolare le tangenti in $X$ e in $Y$ e trovare la loro intersezione.
Polari e poli
Dato un punto $P=[u: v:w]$ la retta $a^2(vz+yw)+b^2(uz+xw)+c^2(uy+xv)=0$ si dice polare di $P$ rispetto alla circonferenza circoscritta e, se indichiamo con $\Gamma$ la circoscritta, tale retta viene di solito indicata con $\textrm{pol}_\Gamma(P)$. Abbiamo visto una prima proprietà di questa retta:
Fatto 9+ Se $P\in\Gamma$, $\textrm{pol}_\Gamma(P)$ è la retta tangente a $\Gamma$ passante per $P$.
Vediamo alcune altre proprietà.
Fatto 10 $Q\in\textrm{pol}_\Gamma(P)$ se e solo se $P\in\textrm{pol}_\Gamma(Q)$.
Dim: Siano $P=[u: v:w]$ e $Q=[p: q:r]$. Quindi
$$(1)\qquad\textrm{pol}_\Gamma(P)=\{a^2(vz+yw)+b^2(uz+xw)+c^2(uy+xv)=0\}$$
$$(2)\qquad \textrm{pol}_\Gamma(Q)=\{a^2(qz+yr)+b^2(pz+xr)+c^2(py+xq)=0\}\;.$$
Allora
$$Q\in\textrm{pol}_\Gamma(P)\Leftrightarrow a^2(vr+qw)+b^2(ur+pw)+c^2(uq+pv)=0\Leftrightarrow P\in\textrm{pol}_\Gamma(Q)$$
in quanto sostituendo nella formula $(1)$ le coordinate di $Q$ e nella formula $(2)$ le coordinate di $P$ si ottiene esattamente la stessa equazione.
Fatto 11 $\textrm{pol}_\Gamma(P)$ incontra $\Gamma$ in $D$, $E$ se e solo se le tangenti a $\Gamma$ in $D$, $E$ si intersecano in $P$.
Dim: $D\in\textrm{pol}_\Gamma(P)$ sse $P\in\textrm{pol}_\Gamma(D)$ per il fatto 10, ma la seconda retta è, per il fatto 9+, la tangente a $\Gamma$ in $D$. Quindi due punti $D$, $E$ di $\Gamma$ stanno sulla polare di $P$ se e solo se le tangenti a $\Gamma$ in $D$, $E$ contengono $P$.
Fatto 12 Sia $r$ una qualunque retta per $P$ che incontri $\Gamma$ in $D$, $E$, allora l'intersezione delle tangenti in $D$, $E$ sta sulla polare di $P$.
Dim: Sia $Q$ l'intersezione delle tangenti in $D$, $E$, allora $\textrm{pol}_\Gamma(Q)=r$, per il fatto 11, e dunque $P\in\textrm{pol}_\Gamma(Q)$, ma allora il fatto 10 implica che $Q\in\textrm{pol}_\Gamma(P)$.
Fatto 13 Se $\textrm{pol}_\Gamma(P)=\{lx+my+nz=0\}$ allora $P=[-a^4l+b^2a^2 m+c^2a^2n:a^2b^2l-b^4m+c^2b^2 n: c^2a^2l+c^2b^2m-c^4n]$.
Dim: Se $P=[u: v:w]$, allora la polare è
$$a^2(vz+yw)+b^2(uz+xw)+c^2(uy+xv)=0$$
ovvero
$$x(b^2w+c^2v)+ y(a^2w+c^2u)+z(a^2v+b^2u)=0$$
Dunque vogliamo che $[l: m:n]=[b^2w+c^2v:a^2w+c^2u:a^2v+b^2u]$, che è equivalente a risolvere il sistema
$$\left\{\begin{array}{rcl}b^2w+c^2v&=&kl\\a^2w+c^2u&=&km\\a^2v+b^2u&=&kn\end{array}\right.$$
per un qualche $k$, nelle incognite $u,v,w$. Chiamando $L_1,\ L_2,\ L_3$ i tre LHS, vediamo che
$$a^2L_1+b^2L_2-c^2L_3=2a^2b^2w$$
e similmente per le altre variabili. Dunque, poniamo $k=2a^2b^2c^2$ e otterremo
$$2a^2b^2w=2a^2b^2c^2(a^2l+b^2m-c^2n)$$
ovvero $w=c^2a^2l+c^2b^2m-c^4n$ e similmente per le altre variabili.
Osservazione L'aver fissato $k$ a quel particolare valore non è necessario per risolvere il sistema, che può essere risolto parametricamente in $k$ oppure fissando $k=1$ o qualsiasi altro valore. Tanto, alla fine, ci importa solo della terna omogenea delle soluzioni: soluzioni per diversi valori di $k$ sono proporzionali con una costante che, per l'appunto, è $k$. Il valore $k=2a^2b^2c^2$ serve solo per non far comparire denominatori.
Esercizio 34 Calcolare il polo delle seguenti rette
- altezza per $A$
- simmediana per $A$
- bisettrice interna per $A$
- mediana per $A$
- retta di Eulero
- asse ortico
Esercizio 36 Dimostrare che $3$ punti sono allineati se e solo se le loro tre polari concorrono.
Esercizio 37 Trovare un controesempio al precedente esercizio.