Gara Classi Prime

[Mattysal]

Oggi si è svolta la Gara delle Prime e vorrei condividere con voi un quesito li presente.

Si consideri il numero 2018201720162015201420132012...10987654321 formato da tutti i numeri in ordine decrescente da 2018 ad 1.
Che resto si ottiene dividendolo per 6? La mia risposta è 3, vorrei capire se ho fatto giusto, illuminatemi!

[Lasker]

Si è giusto, ma per capire se hai usato un procedimento corretto dovresti postare la tua soluzione visto che beccare il resto giusto su $3$ possibili non è troppo difficile

[Mattysal]

Sono partito dall'escludere 0 2 4 in quanto un numero che termina in 1 diviso per 6 non avrà mai resto pari.

Dato che i numeri sono divisibili per 6 a cinque a cinque e 2016 = 0 mod 6(Uso uguale per dire congruo!)
2016/6=336 gruppi.

Possiamo sommare i moduli 336*(5+4+3+2+1)=5040
Non dimentichiamoci di 2017 e 2018
2017 = 1 mod 6
2018 = 2 mod 6

5040+1+2=5043
5043 = 3 mod 6

[matpro98]

Giusta!
Ma a noi piace lavorare coi primi (e $6$ non lo è). Lavoriamo allora con $3$. $1+2+3 \equiv 4+5+6 \equiv \dots \equiv 2017+2018 \equiv 0 \pmod{3}$ (sommare i numeri o le singole cifre è la stessa cosa modulo $3$). Quindi hai $N \equiv 1 \pmod{2}$ e $N \equiv 0 \pmod{3}$. Il Teorema Cinese del Resto (studia) ci dice allora che, come hsi detto tu, $N \equiv 3 \pmod{6}$.

Come avrai notato, puoi fare il simbolo di "congruo", tramite il LaTeX. Dacci uno sguardo

[Mattysal]

Grazie mille!

[Mattysal]

Un altro problema, quanti sono i divisori di 99^9 che sono quadrati perfetti o cubi perfetti?
La mia risposta è stata 55. Illuminatemi

[alessandro tedeschi]

Allora, $99^{9}=3^{18}\cdot 11^{9}$ ; i divisori che sono quadrati perfetti si ottengono come prodotto tra una potenza di esponente pari di 3 e una Potenza con esponente pari di 11 (ricordati di tenere conto che gli esponenti possono essere 0), dunque si sceglieranno in $10\cdot5=50$ modi. Per avere dei cubi gli esponenti dovranno essere multipli di 3, dunque si sceglieranno in $7\cdot4=28$ modi. A questo punto vanno tolti quelli dove gli esponenti sono entrambi multipli di 6 poiché li abbiamo contati due volte; questi si scelgono in $4\cdot2=8$ modi. La risposta sarà $50+28-8=70$

[Mattysal]

Giusto! Non ci avevo pensato, peccato aver perso sei punti.