Polinomio irriducibile riducibile dappertutto

[Rho33]

Dimostrare che il polinomio $p(x)=x^4+1$ è irriducibile su $\mathbb{Z}[x]$ ma è riducibile su $\mathbb{F}_p[x]$ per ogni primo $p$.

P.S. Non sapevo dove metterlo sinceramente, dato che la mia soluzione è molto non-algebrica

[pipotoninoster]

Allora, premetto che di strutture algebriche, gruppi, anelli, campi so poco e niente. Comunque, ci provo...

Testo nascosto:

Per dimostrare che è irriducibile su [math]\mathbb{Z}[x] si osserva che su [math]\mathbb{C} è fattorizzabile come[math]p(x)=(x-\omega)(x-\theta)(x-\bar {\theta})(x-\bar {\omega}), dove [math]\omega=e^{i (\pi /4)}, [math]\omega=e^{i (3 \pi /4)}. Nessuna delle radici è reale, e l'unico modo in cui può fattorizzarsi in [math]\mathbb{R}[x] è [math]p(x)=(x^2-\sqrt{2} x+1)(x^2+\sqrt{2} x+1), che non è una fattorizzazione su [math]\mathbb{Z}[x]. Dunque è irriducibile in tale anello.
Per quanto riguarda invece la seconda richiesta, si ha che:
- se [math]p \equiv 1 \pmod{4} allora [math]p(x)=(x^2+c)(x^2-c), dove [math]c \equiv -1 \pmod{p}. Infatti [math]-1 è residuo quadratico modulo [math]p per [math]p \equiv 1 \pmod{4}
- se [math]p \equiv 3 \pmod{8} allora [math]-2 è residuo quadratico e [math]p(x)=(x^2+ax-1)(x^2-ax-1), con [math]a^2 \equiv -2 \pmod{p}
- se [math]p \equiv 7 \pmod{8} allora [math]2 è residuo quadratico e [math]p(x)=(x^2+ax+1)(x^2-ax+1), con [math]a^2 \equiv 2 \pmod{p}
- se [math]p=2 allora [math]p(x)=(x^2+1)^2

[Lasker]

C'è una generalizzazione MNE per cui i ciclotomici riducibili modulo $p$ per ogni $p$ sono esattamente quelli tali che il loro discriminante è un quadrato perfetto, se interessa a qualcuno

[elianto84]

Soluzione un po' tecnica: $p(x)=x^4+1$ non è esattamente un polinomio a caso, è l'ottavo polinomio ciclotomico $\Phi_8(x)$. Esso è palesemente un quadrato in $\mathbb{F}_2[x]$. Se consideriamo un primo $p$ dispari, il grado del campo di spezzamento di $\Phi_8(x)$ su $\mathbb{F}_p$ è dato dal minimo numero naturale $k$ tale per cui $8\mid (p^k-1)$, in quanto le radici di $\Phi_8(x)$ sono le radici primitive ottave dell'unità e la parte moltiplicativa di un campo finito è un gruppo ciclico. D'altra parte se $p\equiv 1\pmod{8}$ si ha $k=1$, per cui $\Phi_8(x)$ si spezza in fattori lineari, altrimenti $k=2$, e $\Phi_8(x)$ si spezza come prodotto di due irriducibili quadratici. Comunque vada $k=4$ (corrispondente al caso in cui $p(x)$ risulta irriducibile su $\mathbb{F}_p$) non ha mai luogo.

Potete provare a semplificare questa dimostrazione considerando una scrittura esplicita delle radici complesse di $\Phi_8(x)$ e il fatto che, per ogni primo $p$ dispari, almeno un numero tra $-1,2$ e $-2$ è un residuo quadratico $\!\!\pmod{p}$, visto che il simbolo di Legendre è moltiplicativo.