Diofantea con divisori (facile)

[The Scrasse]

Siano $1 = d_1 < d_2 < \dots < d_i = n$ i divisori di $n$ ($n$ intero positivo). Trovare tutte le soluzioni di $$n = \binom{d_3}{d_2} + 3d_2^2d_3 + 7$$.

[The Scrasse]

Vi lascio qualche hint...
Hint 1

Testo nascosto:

$d_3$ è ... oppure ...

Hint 2

Testo nascosto:

Guarda l'uguaglianza modulo $d_2$ o modulo $d_3$

[Galgo]

Testo nascosto:

Notiamo che $d_2\in\mathbb{P}$, dove $\mathbb{P}$ è l'insieme dei numeri primi in quanto $d_2\neq n$ e che $d_3=d_2^2 \lor d_3 \in \mathbb{P}$ , difatti, se così non fosse, $d_3\neq d_2^2 \land d_3 \not \in \mathbb{P} \implies \exists x,y \in \mathbb{N} \setminus \{1,n\}: d_3 = xy \implies x\mid n \land y\mid n \land x,y \neq d_2 \land x,y < d_3$, assurdo.
Consideriamo il caso in cui $d_3\in\mathbb{P}$. È evidente che $d_3\mid \binom{d_3}{d_2} \implies d_3 \mid 7 \implies d_3=7 \implies d_2 \in \{2,3,5\} \implies n\in\{112,231,553\}$. Sostituendo questi valori di $n$ si nota che va bene solo $231$.
Consideriamo ora il caso in cui $d_3=d_2^2$. $v_{d_2}\binom{d_2^2}{d_2}=v_{d_2}((d_2^2)!)-v_{d_2}(d_2!)-v_{d_2}((d_2^2-d_2)!)=3-1-1=1 \implies d_2\mid\binom{d_2^2}{d_2}$ $\implies d_2\mid 7 \implies d_2=7\implies d_3=49\implies n=\binom{49}{7}+7210$. Notiamo che $49\nmid \binom{49}{7}+7210$, quindi l'unica soluzione è $231$.

[The Scrasse]

Esatto