ciclotomia

[symonmasini79]

Gauss ha dimostrato che la circonferenza unitaria è divisibile in n parti uguali se e solo se è inscrivibile in essa un

poligono regolare di n lati tale che n è o un qualsiasi numero pari oppure un particolare primo detto di Fermat.

Il significato del teorema non è il seguente:

se prendo l'angolo giro 360 gradi e lo divido per qualunque degli n trovati da Gauss ottengo un numero decimale

finito, per tutti gli altri dispari che non verificano il teorema un numero decimale infinito. Inoltre volevo sapere se costruire un poligono

regolare di n lati con riga e compasso equivale a dividere la circonferenza in n parti uguali ; infatti in alcuni testi si trova scritto per esempio per

n=9 che il poligono corrispondente non è costruibile con riga e compasso (lo deducono dalla forma delle soluzioni dell'equazione binomia x^9-1=0), ma è

anche vero che 360 gradi/9=40 gradi e quindi il poligono dovrebbe essere costruibile!!! A questo punto deduco che la costruzione con riga e compasso non è equivalente alla semplice costruzione del poligono ottenuta dividendo l'angolo giro in parti uguali. Spero di essere stato abbastanza chiaro!

[fph]

Esatto, la scrittura decimale in gradi non c'entra nulla con la costruibilità. Un grado è un'unità arbitraria (avremmo potuto convenire di dividere la circonferenza in 10, 49, 100, 400, ecc. parti, invece che 360). Ci sono poligoni che sono costruibili ma 360/n non ha scrittura decimale finita in gradi (ad esempio n=17), e viceversa (ad esempio n=9, come noti tu). In particolare un angolo di un grado non è costruibile con riga e compasso perché 360 contiene "troppi fattori 3", quindi non puoi pensare semplicemente di costruire multipli di gradi.

[Tief]

Forse non ricordo bene, ma mi pare che esistesse un modo per costruire un qualunque poligono regolare di N lati, con N generico, inscritto in una circonferenza.

[fph]

Forse ti hanno mentito: talvolta sui libri di disegno ci sono delle costruzioni approssimate che ti spacciano come esatte.

[symonmasini79]

quindi a quanto ho capito se 360/n non ha una scrittura decimale finita la circonferenza non è divisibile in parti uguali e non esiste alcun poligono

regolare inscritto; mentre se 360 è divisibile per n esiste il poligono regolare inscritto ma non è detto che sia costruibile con riga e compasso

esmpio: 9 e 3 lati esiste in tutti e 2 i casi ma solo per n=3 è costruibile con riga e compasso

come si fa a capirlo dalle equazioni x^9-1=0 e x^3-1=0 ?

[fph]

No, la scrittura decimale finita non c'entra nulla. La circonferenza è sempre divisibile in $n$ parti uguali, per ogni $n$ intero, e l'$n$-agono regolare esiste sempre. Inoltre 360 è un numero scelto arbitrariamente come unità di misura e non ha alcun senso matematico in sé (difatti la gente di classe usa i radianti anziché i gradi). :p

Come si fa a capire se un poligono regolare è costruibile o no con riga e compasso? Non è semplicissimo da dimostrare, ci va un po' di teoria dei campi. Difatti c'è voluto Gauss per dimostrarlo...

[Tief]

Forse ti hanno mentito: talvolta sui libri di disegno ci sono delle costruzioni approssimate che ti spacciano come esatte.

Quindi il mio compito di disegno di 4 anni fa non era da 4 al 5. E' tutto un complotto.

[FrancescoVeneziano]

Gauss ha dimostrato che la circonferenza unitaria è divisibile in n parti uguali se e solo se è inscrivibile in essa un
poligono regolare di n lati tale che n è o un qualsiasi numero pari oppure un particolare primo detto di Fermat.

Per favore non diffondiamo disinformazione.
Il poligono regolare di $n$ lati è costruibile con riga e compasso se e solo se $n$ si fattorizza come una potenza di due per un prodotto di primi di Fermat distinti (al momento sono noti solo 5 primi di Fermat: 3,5,17,257, 65537 e si congettura che non ne esistano altri).
Quindi per esempio il 14-agono non è costruibile, mentre il 15-agono lo è.

[symonmasini79]

come fa "fph" ad affermare che il poligono inscritto di n lati uguali esiste sempre e che quindi una circonferenza è sempre divisibile in n parti uguali?

[matpro98]

Beh, l'esistenza è ovvia direi. Quello che non si può fare in genere (ma solo in casi particolari) è la costruzione con riga e compasso.

[symonmasini79]

perchè è ovvia?

[fph]

Hai ragione che non è così ovvio come sembra. Purtroppo in geometria euclidea appena uno si avvicina a proposizioni "base" diventa sempre più complicato decidere da che assiomi si parte, cosa si dà per buono, cosa è davvero una dimostrazione, e cosa vuol dire che "esiste" un punto che non posso costruire.