Problema 1:
Sia $ABCD$ un quadrato e $E$ un punto sul segmento $BD$. Detti $O_1, O_2$ i circocentri di $ABE$ e $ADE$ rispettivamente, dimostrare che $AO_1EO_2$ è un quadrato.
Problema 2:
Sia $ABC$ un triangolo acutangolo scaleno e $P$ la proiezione di $B$ sull'asse di $AC$. Sia $M$ il punto medio di $BC$ e $Q$ l'intersezione tra $AB$ e $PM$. Dimostrare che il triangolo $BPQ$ è isoscele.
Problema 3:
Sia $ABC$ un triangolo tale che $AB=AC$ e sia $D$ un punto su $BC$ tale che $BD=2DC$. Sia $E$ un punto sul segmento $AD$ tale che $\angle{BED}=\angle{BAC}$. Dimostrare che $\angle{BED}=2\angle{DEC}$.
Problema 4:
Sia $ABC$ un triangolo acutangolo scaleno. Siano $E, F$ rispettivamente i piedi delle altezze uscenti da $B$ e $C$. Sia $\Gamma$ la circonferenza circoscritta al triangolo $AEF$. La tangente a $\Gamma$ in $E$ interseca $AB$ in $P$ e la tangente a $\Gamma$ in $F$ interseca $AC$ in $Q$. Dimostrare che la seconda intersezione tra $\Gamma$ e la circonferenza circoscritta al triangolo $APQ$ giace sulla retta di Eulero del triangolo $ABC$.
A presto per il Day2 e buon divertimento!