Funzione reale strettamente crescente con immagine mai densa
Funzione reale strettamente crescente con immagine mai densa
Stabilire se possa o meno esistere una funzione $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ strettamente crescente con immagine mai densa, sarebbe a dire tale che la sua chiusura topologica ha interno vuoto: $(\overline{\textrm{Im}f})^\mathrm{o}=\emptyset$.
Re: Funzione reale strettamente crescente con immagine mai densa
Non vorrei dire una sciocchezza, ma questa non dovrebbe funzionare? Ovviamente basta trovarne una da $(0,1)$ in $\mathbb R$ con la stessa proprietà, perchè poi basta precomporre con una biiezione strettamente monotona $\mathbb R\to (0,1)$. Adesso definisco $f\colon (0,1)\to \mathbb R$ che fa la seguente cosa: prendo $\alpha\in (0,1)$, mi scrivo $\alpha$ in base 2, rimpiazzo tutti gli 1 con dei 2 e leggo il risultato in base 3. Chiamo questo numero $f(\alpha)$. Adesso è ovvio che l'immagine di $f$ è mai densa, perchè l'immagine è l'insieme dei numeri in $(0,1)$ la cui scrittura in base 3 non contiene la cifra 1, e questo è l'insieme di Cantor meno due punti. Devo solo provare che è strettamente monotona, ma anche questa cosa è abbastanza ovvia perchè se $\sum_{i\geq 1}a_i(1/2)^i>\sum_{i\geq 1}b_i(1/2)^i$ con gli $a_i,b_i\in \{0,1\}$ allora $\sum 2a_i(1/2)^i>\sum 2b_i(1/2)^i$ e da qua si argomenta facilmente che $\sum 2a_i(1/3)^i>\sum 2b_i(1/3)^i$. Cosa sto sbagliando?
Re: Funzione reale strettamente crescente con immagine mai densa
Non stai sbagliando nulla! Al più qualcuno particolarmente pedante potrebbe toglierti un punto per non aver esibito la biezione strettamente crescente dalla retta all'intervallo, spesso è meglio spendere un rigo in più e star più tranquilli.
Pota gnari!