Tartaglia distratto

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rudolf
Messaggi: 3
Iscritto il: 25 ago 2016, 19:49

Tartaglia distratto

Messaggio da rudolf »

Quando la maestra ha spiegato il triangolo di Tartaglia, Alberto stava guardando la neve fuori dalla finestra e si è
distratto. Ora deve disegnarlo, e sbagliandosi scrive come primo e ultimo numero di ogni riga non tutti uni, ma
numeri dispari successivi. Poi riempie il resto con la solita regola ricorsiva: l’n -esimo numero su ogni riga è la
somma dell’ $n-1$-esimo e dell’ n -esimo sulla riga precedente. Quindi per lui le prime righe sono 1, poi 3, 3, poi 5 , 6 , 5,
poi 7, 11, 11, 7. Quanti numeri non multipli di 3 scriverà nelle prime 241 righe?

Qualcuno mi potrebbe dare un suggerimento per questo problema (dalla semifinale di cesenatico 2020)? Grazie!
Tozzettino
Messaggi: 1
Iscritto il: 18 apr 2022, 13:57

Re: Tartaglia distratto

Messaggio da Tozzettino »

Ciao!
Una cosa utile può essere considerare tutti i numeri scritti modulo 3: ognuno quindi sarà 1, 2 oppure 0.
Vedrai che salteranno fuori cose interessanti!
Fammi sapere se ti serve qualcosa di più specifico...!
rudolf
Messaggi: 3
Iscritto il: 25 ago 2016, 19:49

Re: Tartaglia distratto

Messaggio da rudolf »

Testo nascosto:
Scrivendo molte righe del triangolo modulo 3 si nota che se si considerano le prime $r$ righe, per alcuni $r$ il triangolo di tartaglia seguirà lo schema dell'immagine. Ossia, è un blocco composto da tre "grandi triangoli equilateri di zeri" e sei volte lo schema precedente $B_{n -1}$. L'ultima riga del blocco è di numeri diversi da zero. Teniamo traccia delle seguenti quantità: $l_n$ (l'altezza dei grandi triangoli di zeri nel blocco $B_n$), $r_n$ (l'altezza del blocco $B_n$) e $z_n$ (il numero di zeri nel blocco $B_n$). Con vari tentativi si arriva alle seguenti relazioni ricorsive:
$
l_n = r_{n-1} + 1 \\
r_n = 3 l_n + 1 \\
z_n = 3\dfrac{l_n \cdot l_{n - 1}}{2} + 6z_{n - 1} .
$
La formula per $l_n$ si giustifica col fatto che finito un blocco comincia subito il "grande triangolo equilatero di zeri" del blocco successivo, quindi il suo lato sarà più grande di uno del blocco precedente.
La formula per $r_n$ è così per come è definito $B_n$
La formula per $z_n$ conta il numero di zeri dei tre grandi triangoli di zeri più quello dei sei blocchi $B_{n-1}$.
Nel caso base abbiamo $l_1=2$, $r_1=7$, $z_1=9$.
Se si applicano le formule ricorsive un po' di volte si arriva guarda caso a $r_4=241$, quindi la risposta è il numero totale di elementi delle prime 241 righe meno $z_4=21870$, cioè $\frac{241*242}{2} - 21870 = 7291$.
Immagine
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tartaglia.jpg
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