integrabilità, funzioni lipschitziane

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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marcosisto
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Iscritto il: 14 lug 2022, 14:24

integrabilità, funzioni lipschitziane

Messaggio da marcosisto »

Ciao a tutti, ho appena iniziato lo studio degli integrali e mi sono imbattuto in questo teorema:

"Sia [math] localmente lipschitziana; se [math] è R-integrabile su [a,b], anche [math] è R-integrabile su [a,b]".
Riporto anche la dimostrazione.

"Se [math] è R-integrabile su [math], in particolare è limitata su [a,b] e quindi [math] è lipschitziana sull'intervallo compatto [math]. Inoltre, per ogni [math] esiste una suddivisione [math] dell'intervallo [math] tale che [math]. Dove [math] è l'oscillazione della funzione [math] su [math] .
Sia ora [math]

È immediato vedere che, se [math] è una costante di Lipschitz per [math] su [math], si ha
[math]

Per cui si ha [math], il che mostra che [math] è integrabile su [math].

Quello che non mi è chiaro è come si fa ad ottenere questa disuguaglianza:
[math]
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