integrabilità, funzioni lipschitziane

[marcosisto]

Ciao a tutti, ho appena iniziato lo studio degli integrali e mi sono imbattuto in questo teorema:

"Sia [math]\rho : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} localmente lipschitziana; se [math]f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} è R-integrabile su [a,b], anche [math] \rho \circ f è R-integrabile su [a,b]".
Riporto anche la dimostrazione.

"Se [math]f è R-integrabile su [math][a,b], in particolare è limitata su [a,b] e quindi [math]\rho è lipschitziana sull'intervallo compatto [math]C = [inf f([a,b]), sup f([a,b])]. Inoltre, per ogni [math]\epsilon > 0 esiste una suddivisione [math]D dell'intervallo [math][a,b] tale che [math]\sum_{k=1}^m { \omega_{k,D} (x_k - x_{k-1}) \leq \epsilon}. Dove [math]\omega_{k,D} è l'oscillazione della funzione [math]f su [math]]x_{k-1}, x_k[ .
Sia ora [math]\alpha_{k} = inf\{\rho(f(x)) : ]x_{k-1},x_k[\} \\\beta_k = sup\{\rho(f(x)) : ]x_{k-1},x_k[\}

È immediato vedere che, se [math]\lambda > 0 è una costante di Lipschitz per [math]\rho su [math]C, si ha
[math]\beta_k - \alpha_k \leq \lambda\omega_{k,D}

Per cui si ha [math]\sum_{k=1}^m { (\beta_{k}-\alpha_k) (x_k - x_{k-1})} \leq \sum_{k=1}^m { \lambda\, \omega_{k,D} (x_k - x_{k-1})} \leq \lambda\epsilon, il che mostra che [math][math]\rho \circ f è integrabile su [math][a,b].

Quello che non mi è chiaro è come si fa ad ottenere questa disuguaglianza:
[math]\beta_k - \alpha_k \leq \lambda\omega_{k,D}