Ciao a tutti. Qualcuno potrebbe aiutarmi nella risoluzione di questo esercizio. Richiede di dimostrare la seguente proposizione con il principio di induzione: (2n)!/n!n! ≤ 4^n/√(3n + 1) . Si trova fra gli esercizi proposti nella pagina "Senior in pillole" alla voce sull'induzione.
Vi ringrazio
Esercizio senior in pillole
Re: Esercizio senior in pillole
La disequazione da dimostrare sui numeri naturali è la seguente:
\[\frac{(2n)!}{n!n!} \leq \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}. \tag{1}\]
$\textbf{Soluzione.}$
Procediamo prima col passo base dell'induzione, ossia il caso $n=0$. Abbiamo
\[\frac{0!}{0!0!}=1 \leq \frac{4^0}{\sqrt{1}}=1,\]
che è una disuguaglianza vera.
Dunque possiamo passare al passo induttivo, cioè supponiamo ora che la $(1)$ sia vera per $n$ e proviamola per $n+1$. Vale a dire, dimostreremo che
\[\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!} \leq \frac{4^{n+1}}{\sqrt{3n+4}}. \tag{2}\]
Per la $(1)$ sappiamo che
\[\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!} = \frac{(2n)!}{n!n!} \cdot \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2} \leq \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}} \cdot \frac{2(2n+1)}{(n+1)}\]
e se riusciamo a mostrare che il secondo membro dell'ultima disequazione è minore o uguale del secondo membro della $(2)$ abbiamo finito.
È perciò sufficiente provare che la disuguaglianza
\[\frac{4^n}{\sqrt{3n+1}} \cdot \frac{2(2n+1)}{(n+1)} \leq \frac{4^{n+1}}{\sqrt{3n+4}} \tag{3}\]
è verificata per ogni $n$.
Sviluppiamo quindi la $(3)$:
\[\frac{2(2n+1)}{(n+1)\sqrt{3n+1}} \leq \frac{4}{\sqrt{3n+4}} \Longrightarrow (2n+1)\sqrt{3n+4} \leq (2n+2)\sqrt{3n+1}\]
da cui, quadrando entrambi i membri, si ottiene
\[(4n^2+4n+1)(3n+4) \leq (4n^2+8n+4)(3n+1) \Longrightarrow 12n^3+16n^2+12n^2+16n+3n+4 \leq 12n^3+4n^2+24n^2+8n+12n+4\]
da cui, dopo alcune semplificazioni,
\[19n \leq 20n,\]
che è effettivamente una disuguaglianza sempre vera. Questo conclude la dimostrazione.
\[\frac{(2n)!}{n!n!} \leq \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}. \tag{1}\]
$\textbf{Soluzione.}$
Procediamo prima col passo base dell'induzione, ossia il caso $n=0$. Abbiamo
\[\frac{0!}{0!0!}=1 \leq \frac{4^0}{\sqrt{1}}=1,\]
che è una disuguaglianza vera.
Dunque possiamo passare al passo induttivo, cioè supponiamo ora che la $(1)$ sia vera per $n$ e proviamola per $n+1$. Vale a dire, dimostreremo che
\[\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!} \leq \frac{4^{n+1}}{\sqrt{3n+4}}. \tag{2}\]
Per la $(1)$ sappiamo che
\[\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!} = \frac{(2n)!}{n!n!} \cdot \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2} \leq \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}} \cdot \frac{2(2n+1)}{(n+1)}\]
e se riusciamo a mostrare che il secondo membro dell'ultima disequazione è minore o uguale del secondo membro della $(2)$ abbiamo finito.
È perciò sufficiente provare che la disuguaglianza
\[\frac{4^n}{\sqrt{3n+1}} \cdot \frac{2(2n+1)}{(n+1)} \leq \frac{4^{n+1}}{\sqrt{3n+4}} \tag{3}\]
è verificata per ogni $n$.
Sviluppiamo quindi la $(3)$:
\[\frac{2(2n+1)}{(n+1)\sqrt{3n+1}} \leq \frac{4}{\sqrt{3n+4}} \Longrightarrow (2n+1)\sqrt{3n+4} \leq (2n+2)\sqrt{3n+1}\]
da cui, quadrando entrambi i membri, si ottiene
\[(4n^2+4n+1)(3n+4) \leq (4n^2+8n+4)(3n+1) \Longrightarrow 12n^3+16n^2+12n^2+16n+3n+4 \leq 12n^3+4n^2+24n^2+8n+12n+4\]
da cui, dopo alcune semplificazioni,
\[19n \leq 20n,\]
che è effettivamente una disuguaglianza sempre vera. Questo conclude la dimostrazione.
[math]
Re: Esercizio senior in pillole
Le formule che ho scritto, se ti interessa, sono frutto del LaTeX (si pronuncia "latek"), un linguaggio di scrittura molto utile per ottenere espressioni matematiche. Per saperne di più: https://it.overleaf.com/learn.
[math]