Lanciatori di coltelli

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Mattiac1
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Iscritto il: 12 mag 2024, 15:55

Lanciatori di coltelli

Messaggio da Mattiac1 »

Ciao, come si può risolvere questo esercizio di un allenamento di gara a squadre?
Ad un raduno si presentano 32 matematici, dove ad ognuno di
questi è fornita una mascherina colorata. Una volta consegnate le mascherine,
1'organizzatore dell'evento decide di fare un gioco con i 32 matematici presenti:
I matematici sono disposti in modo che ognuno possa vedere la mascherina
di tutti gli altri matematici;
I matematici non hanno alcuna informazione circa il colore della propria
mascherina;
I matematici non sanno quanti colori siano stati usati, ma solo che le
mascherine sono tutte tinta unita;
Ogni minuto suona una campana: chi ha dedotto logicamente il proprio
colore esce dalla stanza;
Ogni matematico è in grado di dedurre logicamente il proprio colore,ed
ognuno è a conoscenza di questo.
Finite di spiegare le regole, che ora conoscono tutti i matematici, l'organizza-
tore fa partire il gioco: al primo, terzo, quinto e sesto suono della campana
escono rispettivamente a, b, c, d persone (con a, b, c, d > 0): in particolare,
al terzo suono della campana escono persone con le mascherine di almeno due
colori distinti; infine al secondo e quarto suono della campana non esce nessuno,
Sapendo che al sesto suono sono tutti usciti, quanto vale a^2 + 2(b^2) + 3(c^2)+ 4(d^2)?
Grazie
emmeci
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Iscritto il: 13 ago 2020, 10:21

Re: Lanciatori di coltelli

Messaggio da emmeci »

Non riesco ad immaginare neanche una distribuzione di mascherine tale da soddisfare l'ultima ipotesi (ferme restando le altre), anche limitandosi al primo matematico che esce. Non manca qualcosa?
Per inciso, cosa c'entrano i lanciatori di coltelli?
Mattiac1
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Iscritto il: 12 mag 2024, 15:55

Re: Lanciatori di coltelli

Messaggio da Mattiac1 »

Era un allenamento di gara a squadre. I lanciatori di coltelli c'entrano con il contesto che ho tagliano perché senza informazioni utili.
Allego testo completo
Screenshot_20240518_153625_Gallery.jpg
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emmeci
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Re: Lanciatori di coltelli

Messaggio da emmeci »

Testo nascosto:
Testo nascosto:
Grazie della risposta. Ora ho trovato la soluzione del problema e la posto.

Un colore non può essere dato ad una sola persona perché questa non potrebbe mai dedurre logicamente quale sia.
Se un colore è dato a due persone, ognuna di esse vede una sola mascherina così, e fin dal primo giro pensa "Non può essere l'unico, quindi ce l'ho anch'io" ed esce. Perciò al primo giro escono i gruppi di due persone con lo stesso colore.
Se un colore è dato a tre persone, ognuna ne vede due ed al secondo giro pensa "Se ci fossero stati solo loro, sarebbero usciti nel giro precedente; debbo avere anc'io quel colore". Quindi al secondo giro esono i gruppi di tre persone.
Nei giri successivi si ripete il ragionamento del secondo giro e la conclusione è che nel giro $n$ esono i gruppi di $n+1$ persone.
Detti ora $x,y,z,w$ il numero dei gruppi che escono al primo, terzo, quinto e sesto giro, abbiamo $a=2x;b=4y; c=6z;d=7w$ e vale l'equazione
$2x+4y+6z+7w=32$
Al terzo giro escono almeno due gruppi e negli altri citati almeno uno, quindi valgono le limitazioni [math], con le quali si ha
[math]
Escludo $w=1$ perché i due membri dell'equazione avrebbero parità diversa, e resta $w=2$. L'equazione diventa
[math]
Per le limitazioni ho [math].
Deve quindi essere $z=1$ e l''equazione diventa [math] e poiché [math] l'unica soluzione è $y=2$ e quindi $x=2$.
Si ha quindi $a=4;b=8;c=6;d=14$, da cui $a^2+2b^2+3c^2+4d^2=1036$
Mattiac1
Messaggi: 4
Iscritto il: 12 mag 2024, 15:55

Re: Lanciatori di coltelli

Messaggio da Mattiac1 »

Ahh ok, capito.
Grazie mille
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