Ogni punto a coordinate intere nel piano cartesiano è colorato in blu, giallo o rosso in modo che ciascun colore compaia almeno una volta.
Dimostrare che esiste un triangolo rettangolo con vertici di tre colori distinti.
Triangoli rettangoli policromatici - Staffetta #1
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bern-1-16-4-13
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Re: Triangoli rettangoli policromatici - Staffetta #1
Propongo la mia soluzione per il problema 
:
Procediamo per assurdo: immaginiamo che ogni punto a coordinate intere sul piano cartesiano sia colorato di blu, di rosso o di giallo, in modo che ogni colore compaia almeno una volta ma in cui non ci siano mai triangoli rettangoli con i vertici di tre colori differenti.
Lemma:
Dimostriamo innanzitutto che, a queste condizioni, ogni punto a coordinate intere si trova su una retta, parallela ad un asse, colorata con un unico colore:
Procediamo ancora per assurdo: consideriamo senza perdita di generalità l'origine e assumiamo (ancora w.l.o.g.) che sia colorata di rosso. Ipotizziamo che né l'asse $x$ né l'asse $y$ siano colorati interamente di rosso. Se così fosse ci sono almeno un punto $P$ appartenente all'asse $x$ e un punto $Q$ appartenente all'asse $y$ che non sono colorati di rosso. Se sono di colori diversi abbiamo subito un assurdo, infatti il triangolo $POQ$ è rettangolo in $O$ e ha i vertici di tre colori diversi. Siano allora tutti i punti degli assi o rossi o blu, senza perdita di generalità, in modo tale che ogni asse contenga entrambi i colori. Per ipotesi c'è un punto $A=(x_A;y_A)$ giallo. Considero il punto $B=(0;y_A)$ e il punto $C$ sull'asse $y$ che sia di colore diverso rispetto a $B$. Il triangolo $ABC$ è certamente rettangolo in $B$, dunque abbiamo un assurdo e abbiamo dimostrato il lemma.
Dimostrato ciò, è facile notare che tutte le suddette rette colorate di uno stesso colore devono essere parallele alla stesso asse. Se, ad esempio, l'asse $x$ fosse interamente blu, nessuna retta verticale potrebbe essere solo rossa o solo gialla, perché intersecherebbe l'asse $x$ (interamente blu), ma non può nemmeno essere interamente blu, perché altrimenti nessuna retta orizzontale potrebbe essere solo rossa o solo gialla (perché intersecherebbero la retta verticale blu in un punto). Ma se non ci fossero né rette orizzontali né verticali interamente rosse o gialle, per il lemma, il piano sarebbe interamente blu.
Possiamo allora considerare il piano, senza perdita di generalità, come composto da rette verticali, tutte colorate (internamente, non tra di loro) con lo stesso colore. Siccome il piano non è monocolore, ci sono almeno due di queste rette che, a distanza $1$, sono colorate di colori diversi. Senza perdita di generalità siano queste rette l'asse $y$ (rosso) e la retta $x=1$ (blu). Sia inoltre $x=g$ con $g\in\mathbf{Z}$ una retta interamente gialla. Notiamo che i punti $A=(0,0)$ $B=(1,g-1)$ e $C=(g,g-2)$ sono i vertici di un triangolo rettangolo (infatti i coefficienti angolari di $AB$ e $BC$ sono $g-1$ e $\frac{1}{1-g}$) e sono colorati di colori diversi, rispettivamente rosso, blu e giallo. Abbiamo dunque un assurdo, da cui segue la tesi.
:Procediamo per assurdo: immaginiamo che ogni punto a coordinate intere sul piano cartesiano sia colorato di blu, di rosso o di giallo, in modo che ogni colore compaia almeno una volta ma in cui non ci siano mai triangoli rettangoli con i vertici di tre colori differenti.
Lemma:
Dimostriamo innanzitutto che, a queste condizioni, ogni punto a coordinate intere si trova su una retta, parallela ad un asse, colorata con un unico colore:
Procediamo ancora per assurdo: consideriamo senza perdita di generalità l'origine e assumiamo (ancora w.l.o.g.) che sia colorata di rosso. Ipotizziamo che né l'asse $x$ né l'asse $y$ siano colorati interamente di rosso. Se così fosse ci sono almeno un punto $P$ appartenente all'asse $x$ e un punto $Q$ appartenente all'asse $y$ che non sono colorati di rosso. Se sono di colori diversi abbiamo subito un assurdo, infatti il triangolo $POQ$ è rettangolo in $O$ e ha i vertici di tre colori diversi. Siano allora tutti i punti degli assi o rossi o blu, senza perdita di generalità, in modo tale che ogni asse contenga entrambi i colori. Per ipotesi c'è un punto $A=(x_A;y_A)$ giallo. Considero il punto $B=(0;y_A)$ e il punto $C$ sull'asse $y$ che sia di colore diverso rispetto a $B$. Il triangolo $ABC$ è certamente rettangolo in $B$, dunque abbiamo un assurdo e abbiamo dimostrato il lemma.
Dimostrato ciò, è facile notare che tutte le suddette rette colorate di uno stesso colore devono essere parallele alla stesso asse. Se, ad esempio, l'asse $x$ fosse interamente blu, nessuna retta verticale potrebbe essere solo rossa o solo gialla, perché intersecherebbe l'asse $x$ (interamente blu), ma non può nemmeno essere interamente blu, perché altrimenti nessuna retta orizzontale potrebbe essere solo rossa o solo gialla (perché intersecherebbero la retta verticale blu in un punto). Ma se non ci fossero né rette orizzontali né verticali interamente rosse o gialle, per il lemma, il piano sarebbe interamente blu.
Possiamo allora considerare il piano, senza perdita di generalità, come composto da rette verticali, tutte colorate (internamente, non tra di loro) con lo stesso colore. Siccome il piano non è monocolore, ci sono almeno due di queste rette che, a distanza $1$, sono colorate di colori diversi. Senza perdita di generalità siano queste rette l'asse $y$ (rosso) e la retta $x=1$ (blu). Sia inoltre $x=g$ con $g\in\mathbf{Z}$ una retta interamente gialla. Notiamo che i punti $A=(0,0)$ $B=(1,g-1)$ e $C=(g,g-2)$ sono i vertici di un triangolo rettangolo (infatti i coefficienti angolari di $AB$ e $BC$ sono $g-1$ e $\frac{1}{1-g}$) e sono colorati di colori diversi, rispettivamente rosso, blu e giallo. Abbiamo dunque un assurdo, da cui segue la tesi.