Sia [math]a^2+b = p, ove p è un numero primo.
Otteniamo innanzitutto
[math]d := MCD(ab+1,a+b) = MCD(ab+1 - (a+b), a+b) = MCD(ab-a-b+1,a+b) = MCD((a-1)(b-1),a+b)
Supponiamo ora per assurdo che tale d sia diverso da 1.
Allora [math]\exists q \geq 2 numero primo tale che [math]q | d e dunque, per definizione di MCD,
[math]q | (a-1)(b-1), q | a+b
Poiché q è primo [math]q | a-1 oppure [math]q | b-1. Per simmetria mostriamo che se [math]q|a-1 otteniamo una contraddizione, e per l'altro caso è analogo.
Allora
[math]q | a+b
[math]q | (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab = (p-b) + b^2+2ab = p + b(b+2a-1) = p +b(a+b) + b(a-1)
Ma dalle condizioni trovate prima sul fatto che q divide sia [math]a+b che [math]a-1, allora q deve dividere il termine restante p.
[math]q | p
Ma allora se entrambi sono numeri primi, l'unica possibilità è che q = p.
Ciò significa che [math]p = q | a+b, dalla condizione di prima su q ma allora
[math]a^2+b \leq a+b
Che implicherebbe [math]a^2 \leq a, ossia negli interi positivi a=1, ma il testo dice che a >1, il che è una contraddizione.