Indovinelli dal passato

[Tilli]

Nel $1955$ Matryx riceve la lettera di Doc dal vecchio West, la quale recita così “Ci sono tante miniere, ognuna
indicata da un intero. La DeuLerean si trova in quella che corrisponde al numero di coppie non ordinate di polinomi
$p(x),q(x)$ a coefficienti interi strettamente positivi, di grado $4$, tali che $p(1)+q(1) = 26$ e che il polinomio $(p(x)q(x))^7$
abbia esattamente un coefficiente dispari”. Di quale miniera si tratta?

[Tilli]

Testo nascosto:

la soluzione è $8975$

[fph]

Hint:

Testo nascosto:

quand'è che $p(x)q(x)$ ha esattamente un coefficiente dispari?

[Tilli]

Quando sia $p(x)$ che $q(x)$ hanno esattamente un coefficiente dispari?

[fph]

Esatto. E $(p(x)q(x))^7$?

[Tilli]

Per la stessa condizione di prima?

[samuele.giannetti]

Scusate, qualcuno ha la soluzione completa di questo problema? Ho provato a risolverlo analizzando tutti i casi ma mi torna 11650

[fph]

Testo nascosto:

* come dicono gli hint, devi trovare tutte le coppie di polinomi che hanno esattamente un coefficiente dispari ognuno.
* facciamo finta di dover contare le coppie *ordinate* di polinomi $(p,q)$, che è un problema più facile.
* possiamo limitarci a contare solo le coppie che hanno i coefficienti dispari in prima posizione; poi per ottenere tutte le soluzioni basta moltiplicare per 25.
* per le condizioni di positività e parità, possiamo scrivere il primo coefficiente è $1+2k_1$, gli altri sono $2+2k_2, 2+2k_3, 2+2k_4, 2+2k_5$, e lo stesso per il secondo polinomio.
* la condizione che i coefficienti sommano a 26 quindi diventa $k_1 + k_2 + \dots + k_{10} = 4$.
* quindi, se le coppie fossero ordinate ci saremmo ridotti a contare le 10-uple ordinate di interi non-negativi che sommano a 4, che è un problema classico di combinatoria (tecnica "stars and bars", o "palle e divisori"). Viene $\binom{4+10-1}{4} = 715$. Quindi il problema originale (con coppie *ordinate*) avrebbe soluzione 17875.
* ora verrebbe da pensare che visto che le coppie che dobbiamo contare non sono ordinate, dovremo dividere per 2: ogni coppia non ordinata $\{p,q\}$ diventa due coppie ordinate $(p,q)$ e $(q,p)$. Ma c'è un problema (e ce ne accorgiamo anche perché 17875 è dispari!): se $p=q$, la coppia non ordinata diventa solo una coppia ordinata.
* Ora per saper descrivere tutta la situazione l'ultimo pezzo che ci manca è capire quante sono le soluzioni con $p=q$. Questo equivale a contare le 5-uple ordinate di interi non-negativi che sommano a 2, cioè $\binom{2+5-1}{2} = 15$. Quindi, tenendo conto anche dei possibili posti diversi in cui può andare il coefficiente dispari, abbiamo $15\cdot 5 = 75$ coppie della forma $\{p,p\}$.
* le coppie $\{p,q\}$ con $p\neq q$ allora sono (17875 - 75) / 2 = 8900. A queste vanno sommate le 75 coppie della forma $\{p,p\}$.

[samuele.giannetti]

Sei stato chiarissimo e gentilissimo. Grazie mille davvero...