l'insieme dei numeri square free è un gruppo abeliano!!

[focoassassino]

Ciao a tutti, che ne pensate di queste osservazioni?
Consideriamo l’insieme dei numeri Square Free, nel seguito S_F

S_F = { 1, 2,3,5,6,7,10,11,13,14,15,17,19,21… } , inserendo come da convenzione anche il numero 1.
Quii analizziamo la struttura di questo insieme , mettendo in luce alcune caratteristiche e proprietà dello stesso e ipotizzando alcuni possibili sviluppi e relazioni che potrebbero essere investigate ulteriormente.
Anzitutto S_F può, piuttosto sorprendentemente, essere dotato di un’operazione binaria interna con proprietà tali da renderlo un gruppo abeliano.
La stessa osservazione era stata fatta nel 2014 in “The group of squarefree integers” , Autore Titus Hilberdink e facilmente reperibile in rete per i dettagli.
Rispetto all’operazione binaria interna introdotta da Hilberdink tra m e n appartenenti a S_F per cui si considera (lcm/gcd) (m,n) noi preferiamo qui introdurre la diversa seppure sostanzialmente ma non formalmente equivalente rappresentazione di questa proprietà: rappresentiamo ciascun elemento di S_F tramite un insieme che contiene la sua scomposizione in primi (per definizione ogni primo apparirà una sola volta nella scomposizione)

Ad esempio 6 ≡ { 2,3 }, 7 ≡ { 7}, 14 ≡ { 2,7} , 30 ≡ { 2,3, 5 } e applichiamo l’operazione di XOR tra questi insiemi , ad esempio_
avremo quindi ad es { 2,3 } XOR { 2,3, 5 } ≡ { 5 }, 42x10 ≡ { 2,7} XOR { 2,5 } = { 5,7 } ≡35
Per semplicità di scrittura anche se formalmente eccepibile indicheremo nel seguito direttamente 6XOR30 anziché utilizzare ogni volta gli insiemi rappresentativi per indicare l’operazione che associa appunto 6 e 30.
Questa operazione è associativa , elemento neutro è 1 = { ∅ } e ogni elemento è inverso di sé stesso perché ad esempio :
{ a,b, c, ..} XOR { a,b. c,} = { ∅ } per ogni a, b, c, appartenenti a S_F.
Si tratta quindi di un gruppo abeliano in cui tutti gli elementi hanno ordine 2 (isomorfo quindi al cosiddetto a volte “gruppo booleano”).
Quello che però qui vogliamo mettere in luce è il seguente aspetto: questa osservazione può portarci ad un possibile collegamento con l’ approccio statistico all’ ipotesi di Riemann ( vd Denjoy e soprattutto il fondamentale lavoro di Mussardo, da precisare)
Consideriamo infatti ogni elemento di S_F in base al numero di fattori primi che lo compongono: se un numero intero Square Free con un numero pari di fattori primi moltiplica un elemento di S_F analogo il risultato sarà ovviamente ancora un elemento di S_F con un numero pari di fattori, ed analogamente per (pari - dispari) avremo dispari e per (dispari – dispari= avremo pari: basta infatti considerare che questa operazion di XOR non è null’altro che la differenza simmetrica dei due insiemi che rappresentano gli elementi di S_F.
Comunque ad esempio per dimostrare / verificare Pari/dispari si ha:
Pari ha 2n elementi – Dispari ha 2m + 1 elementi , quindi se non hanno in comune nessun elemento l’operazione di XOR avrà come risultato un elemento con 2(n+m) + 1 elementi ovvero dispari. Se ne hanno in comune 1 dovro’ toglierne uno per parte ai due elementi quindi l’elemento risultante ne avrà (2n-1) + 2m = 2 (n + m) – 1 ovvero dispari. Se ne hanno in comune 2 ( o un numero pari) allora come prima il loro risultato sarà dispari ecc.
Con queste premesse elementari, notiamo che è possibile quindi introdurre un omomorfismo φ (epimorfismo) tra S_F e il gruppo G = { -1, 1 } ovvero tra (S_F, XOR) e (G, ∙) :
Definizione dell’omomorfismo.
φ (a) = 1 se a è formato da un numero pari di fattori primi e φ (a) = -1 se a è composto da un numero dispari di fattori primi.
Per quanto osservato prima quindi avremo φ (a XOR b) = φ (a) ∙ φ (b)
Ad esempio:
φ (6 XOR 5) = φ (2,3) XOR (5) = φ (30) = -1 = φ (6) ∙ φ (5) ecc

Estendendo questo concetto, definiamo ora il KER (φ) come quel sottoinsieme di S_F che contiene solo gli elementi di S_F che sono formati da un numero pari di primi, e che hanno quindi come immagine l’elemento neutro di G ovvero 1.
KER (φ) = = { 1,6,10, 14,15,21, … }

Se ora proviamo ad applichiamo ora il primo teorema di Omomofismo vediamo che la struttura di gruppo di S_F assume contorni più definiti e ancora maggiore solidità.

φ
S_F { -1, 1 }

σ ψ

S_F/ Ker Φ

Le “classi laterali” di Ker Φ sono 2 e sono ovviamente :
Ker Φ stesso e ( a XOR Ker Φ), a Ker Φ nel seguito per a numero SF con un numeri dispari di fattori primi
Sigma manda ogni elemento di S_F in una delle 2 classi laterali , e ψ è proprio l’omomorfimo tra S_F/ Ker Φ e G di cui è oggetto il teorema.

Ker Φ è assosciato a 1 ( ψ (Ker Φ) = 1 ) mentre a Ker Φ a - 1 (approdonire la questione delle classi latealii)


Poiché φ è un omomorfismo, Ker(φ) è un sottogruppo normale di SF.