Diophantina americana

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Riprongo qui un problema (dato per la selezione finale delle olimpiadi USA
 nel 2002) che e\' stato proposto nel forum di basecinque.
 
 
 Trovare tutte le coppie ordinate di interi positivi m, n tali che m^2+n^2 sia divisibile per mn -1

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Nel forum di BASECINQUE si e\' arrivati a porvare che alcune soluzioni sono quelle date da:
 
 (1,2) e quelle ottenute da (a,b) --> (b, kb-a) ; (a,b) --> (b,a) ...
 
 e
 
 (1,3) e quelle ottenute da (a,b) --> (b, kb-a) ; (a,b) --> (b,a) ...
 
 E\' stato pure provato che (a,a) non e\' soluzione.
 
 Quello che io sospetto e\' che queste siano le uniche soluzioni [anche perche\', mi pare che, partendo da una soluzione (A,B) si puo\' passare ad una soluzione del tipo (kA-B, A) \"piu\' piccola\" e in qualche modo applicare il metodo della discesa infinita], ma questo e\' tutto da provare.
 
 Come pure sarebbe interessante provare (o confutare) che k=5 dove k e\' il rapporto tra (m^2+n^2) e (mn-1).
 
 Io non riesco a fare progressi sulla faccenda ho esaurito tutte le mie risorse. Credo mi manchino le necessarie conoscenze di teoria dei numeri per affrontare con qualche speranza il problema (o forse mi manca solo l\'idea BUONA).
 
 Chi mi aiuta?