successione

[Quanah]

Data una successione definita così:
<BR>
<BR>a_0 = 1
<BR>a_1 = 1
<BR>
<BR>a_n = ( sum(i=0...n-1) a_i ^2 ) / (n-1)
<BR>
<BR>La domanda è: tutti gli a_i sono interi?

[talpuz]

se non ho sbagliato i conti gli a_i soddisfano la più semplice relazione di ricorrenza
<BR>
<BR>a_n+1=a_n[n-1+a_n]/n
<BR>
<BR>e da qui per induzione dovrebbe saltar fuori qualcosa

[J4Ck202]

Aggiungo anche una mia congettura a questo simpatico problema..
<BR>
<BR>Esistono delle costanti a,b,c in R tali che
<BR>
<BR>-- lim[n->+inf] a[n] / e^((2^n)/(4n) + an^2 + bn +c) = 1
<BR>
<BR>(sembra vero.. ma lo sarà?)
<BR>
<BR>

[Quanah]

Per completezza di informazione (cosa rara di questi tempi) aggiungo che non so la soluzione...

[talpuz]

e io aggiungo che, facendosi i conti dalla relazione del mio post precedente, basta dimostrare che n | a_n²-a_n
<BR>
<BR>il che dovrebbe essere intuitivamente facile da fare per induzione..
<BR>
<BR>provateci!

[Simo_the_wolf]

Aggiungo quest\'altro problema
<BR>
<BR>dimostrare che se (a+1/a) è intero anche (a^n+1/(a^n)) è intero

[talpuz]

induzione usando l\'identità
<BR>
<BR>(a^k-1+(1/a)^k-1)(a+1/a)=a^k+(1/a)^k+a*1/a(a^k-2+(1/a)^k-2)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 13-01-2004 22:12 ]