piramidi e sezioni

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

una sezione piana di una piramide regolare a base quadrata è un pentagono regolare di lato L
 
 determinare il volume della piramide

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

beh, pongo la domanda a chi ha posto il problema: per piramide regolare intendi che ha tutti gli spigoli di egual lunghezza?

edony · Messaggio da **edony** » 01 gen 1970, 01:33

Mi piace sto problema solo che nn riesco a raccapezzarmi, cmq per piramide regolare credo che si intenda che il poligono di base è circoscrittibile a una circonfereneza, e il centro di questa è il piede dell\'altezza

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-29 17:36, edony wrote:
 cmq per piramide regolare credo che si intenda che il poligono di base è circoscrittibile a una circonfereneza, e il centro di questa è il piede dell\'altezza
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 exactly, in più la base della piramide è un poligono regolare
 [se è verificata la tua condizione ma non la mia, la piramide si dice RETTA]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Non riuscendo ad immaginare come si possa
 ottenere, con un solo taglio,una sezione pentagonale
 (regolare) da una piramide quadrangolare regolare,
 ho pensato che la cosa si possa fare con piu\' tagli
 ( uno dei quali operato col piano individuato dal vertice
 della piramide e dalla diagonale di base).
 In questa ipotesi,non so quanto valida,ho realizzato il
 seguente risultato:
 V=L^3/(12)*((1+sin18°)/(sin18°))^(3)*tg36°
 od anche:
 V=L^3/12*(2+sqrt(5))^3*sqrt(5-2sqrt(5)).
 
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Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-01 13:46, karl wrote:
 Non riuscendo ad immaginare come si possa
 ottenere, con un solo taglio,una sezione pentagonale
 (regolare) da una piramide quadrangolare regolare,
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 La piramide ha 5 facce, quindi il piano deve necessariamente intersecarle tutte e 5. Non è difficile, con un disegnino davanti, rendersi conti di come debba essere messo quel piano. Ora, il problema è fare in modo che il pentagono sia regolare, e dimostrare che il volume della piramide non dipende dal suo lato. E tutto questo ha l\'aria di una montagna immensa di conti!
 A meno che talpuz non voglia darci qualche dritta... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

In realtà non sono poi così tanti conti.. solo che in assenza di
 disegno è un po\' casino spiegarsi...
 Cominciamo col dire che il piano \"sezionatore\" deve intersecare
 la base della piramide in una retta che sia perpendicolare ad una
 delle due diagonali del quadrato, altrimenti la simmetria del
 pentagono va a farsi benedire. Ora prendiamo un bel pentagono
 regolare A\'B\'C\'D\'E\', e chiamiamo M il punto medio di A\'B\' ed N il punto
 medio di CE. Ora poniamo
 k[1] = C\'E\'/A\'B\'
 k[2] = MN/A\'B\'
 k[3] = D\'M/MN
 tutte queste costanti si esprimono come funzioni goniometriche
 dell\'angolo di 36°. Ora prendiamo la nostra piramide quadrata con
 vertice V, base ABCD, centro della base O, piano sezionatore
 gamma. Gamma intersecherà AB in P, AD in Q, VB in R, VD in S
 e VC in T, e tutta la costruzione sarà simmetrica rispetto al piano VBD.
 Fissato il lato del pentagono PQ, fissiamo automaticamente RS, in
 quanto dev\'essere RS= k[1] PQ. Ma, detti H e W i punti medi di
 PQ ed RS, dev\'essere pure HW = k[2] PQ, e questa relazione
 determina univocamente la posizione dei punti P e Q (detto alfa
 l\'angolo ^VAC è facile fare i conti). Ma ci serve pure
 PW = k[3] WH
 e questa identità detta quanto debba essere alfa (l\'unico
 parametro rimasto \"libero\") dunque ci dice a quanto ammonta
 il volume della piramide in funzione del lato del pentagono.

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

In realtà credo si possa anche far tutto in 2d considerando lo
 sviluppo piano della piramide, c\'è solo da studiare cosa
 diventa la condizione di complanarità delle rette PQ ed RS con
 il punto T... mi industrierò.

MaMo · Messaggio da **MaMo** » 01 gen 1970, 01:33

Questo problema si trova a pag. 196 del libro \"le olimpiadi della matematica\" II edizione.
 Io l\'ho risolto tempo fa e vorrei sapere se la mia soluzione è corretta.
 Ponendo il lato del pentagono uguale ad 1, il volume della piramide mi viene:
 V = 3/4 + sqrt(5)/3.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-01 20:16, MaMo wrote:
 Questo problema si trova a pag. 196 del libro \"le olimpiadi della matematica\" II edizione.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ah, la sezione di miscellanea!
 In questa sezione vi sono problemi non originali, oppure originali ma per qualche motivo giudicati inadatti alle gare. Per quanto riguarda il problema della piramide, direi che siamo nella seconda categoria, a causa dell\'esorbitante quantità di conti apparentemente necessari per risolverlo.
 Ok, il metodo di Jack funge, ma fornisce solo un algoritmo per trovare il risultato. Dubito che si possa calcolare effettivamente il risultato seguendo quel metodo senza produrre una pagina di calcoli. D\'altra parte, dubito anche che esistano soluzioni più efficienti!
 Qualche altra idea?

bh3u4m · Messaggio da **bh3u4m** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Antimateria wrote:
 
 Qualche altra idea?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Prendere del pongo, un fogli di carta e diseganrci il pentagono regolare. Costruire una piramide col pongo e misurare con un righello le dimensioni.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Stupefacente, bh3u4m!
 In effetti questo risparmia la paginata di conti, ma come la mettiamo con il foglio sprecato per disegnare il pentagono? Dopo averlo disegnato vorrai anche tagliuzzarlo onde meglio costruirci sopra la piramide, e così invece di sprecare un solo lato del foglio, tu me ne sprechi 2!!! E non tirare fuori la scusa che tanto usi la carta riciclata, perchè è l\'atto in sè ad essere vergognoso e deplorevole.[addsig]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

per piramide a base quadrata regolare, si intende quella che ha per facce laterali dei triangoli equilateri?
 
 perche\' se e\' cosi avrei un\'idea per \"accorciare\" i conti.
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 02-03-2004 15:59 ]
 
 
 come non detto: ho riflettuto ancora sulla figura e mi sono convinto del fatto che una piramide regolare con tutti gli spigoli uguali da\' troppi vincoli sul problema. comunque sia l\'idea puo\' essere ancora utile.
 
 si tratta di questo: se ho capito bene cosa si intende per piramide regolare, per determinarla basta conoscere il triangolo isoscele VBD della descrizione di Jack (anche se pure la\' non mi e\' completamente chiara la figura a cui lui fa riferimento - ABCD e\' da intendersi in senso antiorario o al contrario?).
 
 Su triangolo VBD si mappi mediante rotazione tutto quello che sta sul triangolo ortogonale VAC. a questo punto il problema e\' \"spianato\".
 
 Bisogna risolvere una cosa del tipo seguente:
 
 
 Determinare un triangolo isoscele VBD di altezza(=mediana) VO tale che se P e\' un punto su VO e TR la corda (del traingolo) per P parallela alla base BD ed SM un\'altra corda per P con S su VD ed M su BD, si abbia che BM sia la meta\' del lato del pentagono e PS e PM sia uguali ai segmenti del pentagono che descrivero di seguito (che casino di spiegazione!!! ma ho tanta fretta e non posso essere piu\' sintetico e preciso)
 
 Se PQRST e\' il pentagono M e\' il punto medio di PQ e P e\' l\'intersezione di SM con RT.
 
 
 PS
 
 chiedo scusa a chiunque sia arrivato a leggere fino a qua.
 
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 02-03-2004 16:57 ]

MaMo · Messaggio da **MaMo** » 01 gen 1970, 01:33

Sprmnt21, nella soluzione da me trovata la piramide ha tutti gli spigoli uguali di lunghezza:
 s = sqrt(2)(3 + sqrt(5))/4.
 In effetti, però, questa è una conclusione, non un punto di partenza.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

MaMo, se la piramide che hai preso ha gli spigoli tutti uguali, dubito che il pentagono che hai trovato sia regolare. Ti faccio solo notare che affinchè un poligono sia regolare non è sufficiente che abbia tutti i lati uguali...
 Prova a rivedere i tuoi conti, se hai voglia postali anche qui! [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Antimateria il 02-03-2004 19:24 ]