L\'ubriaco

[FrancescoVeneziano]

Un ubriaco si trova su una strada rettilinea, ed in ogni momento ha pari probabilità di fare un passo a sinistra o a destra.
<BR>Si chiede:
<BR> La probabilità p(n) che dopo n passi si trovi al punto di partenza
<BR> La probabilità q(n) che dopo n passi si trovi PER LA PRIMA VOLTA al punto di partenza
<BR> La probabilità che l’ubriaco prima o poi ritorni al punto di partenza
<BR>
<BR>CaO (ossido di calcio)

[alberto]

1)se chiamiamo ogni passo a destra 1 e ogni passo a sinistra 0 perchè dopo n passi l\'ubriaco si ritrovi al punto di partenza, nella sequenza di 0 e 1 ci devono essere tanti 0 quanti 1(n deve essere quindi pari)
<BR>_il numero di percorsi possibili è 2^n
<BR>_il numero di percorsi favorevoli è coeff. binomiale [n;n/2]
<BR>

[ma_go]

Non è che mi convinca molto... Anche perchè il problema non è esposto chiaramente, per me.
<BR>Se non ho capito male, c\'è questo ubriaco che si trova su questa strada e può andare solo avanti o indietro (in uno dei due sensi di marcia, quindi)... A ogni passo ha probabilità 1/2 di andare avanti e 1/2 di andare indietro... Si chiede la probabilità p(n) che sia al punto di partenza dopo n passi e q(n) che ci arrivi per la prima volta... giusto?[addsig]

[FrancescoVeneziano]

Esattamente.
<BR>CaO (ossido di calcio)

[effedue]

<BR>Caso unidimensionale.
<BR>Perché si possa ritornare al punto di partenza occorre che i passi totali compiuti siano pari.
<BR>Il numero di spostamenti (+) deve uguagliare il numero di spostamenti (-) indipendentemente dall\'ordine. Pertanto il numero di casi che portano al punto di partenza dopo 2n passi sono C(2n,n)=(2n)!/(n!)^2.
<BR>I casi totali sono invece 2^(2n).
<BR>
<BR>Caso bidimensionale.
<BR>In entrambe le direzioni occorre che gli spostamenti siano pari.
<BR>Pertanto: 2x+2y=2n (dove 2x sono gli spostamenti orizzontali e 2y quelli verticali)
<BR>x ed y possono variare in tutti i modi con la condizione x+y=n.
<BR>Quindi i casi possibili sono:
<BR>Somma: C(2x,x)C(2y,y)C(2n,2x) con la sommatoria estesa su tutto l\'intervallo x+y=n. La terza combinazione tiene conto dell\'ordine con cui avvengono gli spostamenti orizzontali rispetto a quelli verticali.
<BR>I casi totali sono 4^(2n)
<BR>
<BR>Caso tridimensionale
<BR>2x+2y+2z=2n
<BR>Casi possibili:
<BR>Somma (Somma C(2x,x)C(2y,y)C(2x+2y,2x) per x+y=n-z) C(2n,2z) per z=0,1,…n)
<BR>Casi totali: 6^(2n)
<BR>
<BR>Così per p ma per q ???

[ma_go]

Ma, riguardo il discorso q(n), si intende la SECONDA volta, dato che al passo n.ro 0, cioè all\'inizio, si trova all\'osteria, altrimenti q(n)=0 per ogni n diverso da 0, mentre q(0)=1. E comunque q(0) rappresenta un ostacolo... In ogni caso dovrei essere quasi arrivato alla soluzione... lasciatemi un paio d\'orette...

[ma_go]

Ma sei sicuro che q(n) sia esprimibile come funzione di n, e sia ricavabile senza sapere tutti i q(x) precedenti? Può essere che poi la sommatoria che adesso non riesco a semplificare si semplifichi, ma per adesso la vedo piuttosto complicata...
<BR>Ah, Francesco, sai che ero quello seduto di fianco a te alla premiazione?

[Antimateria]

La probabilità che ritorni prima o poi al punto di partenza (in un numero finito di passi) è 1.
<BR>Sia p(n) la probabilità che prima o poi passi per il punto di partenza, trovandosi alla distanza di n passi. Abbiamo p(0)=1, e p(1)=x è la probabilità che dobbiamo trovare (infatti, dopo il 1° passo, si ritroverà certamente a distanza 1 dal punto di partenza). Inoltre, p(1)=(p(0)+p(2))/2 perchè, se si trova a distanza 1, al passo successivo si troverà a distanza 0 o 2, con uguale probabilità. Infine p(2)=p(1)*p(1), perchè da distanza 2 dovrà raggiungere prima o poi la distanza 1 (con probabilità p(1)), dalla quale dovrà arrivare a 0 (con probabilità p(1)).
<BR>Mettendo tutto insieme, si ricava x=(1+x^2)/2, cioè x=1.
<BR>Si noti che anche p(n)=x^n=1. Quindi, prima o poi l\'ubriaco toccherà sicuramente tutti i punti della retta.[addsig]

[Strider]

Per esperienza personale posso affermare che gli ubriachi hanno un qualche santo protettore che li fa andare più o meno dritti verso la meta desiderata.
<BR>Quindi la probabilità di ritornare in una stesso posto è nulla.