semplici quesiti

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

Tanto per lanciare 2 quesiti facili da fare nel molto tempo libero di queste vacanze estive per chi è meno esperto e vuole fare pratica:
 
 1) Dimostrare che la condizione necessaria e sufficente affinchè le tre radici di un polinomio monico di 3° grado siano lati di un triangolo è la seguente:
 
 3 (c\') <= (c\'\')^2 <= 4(c\')
 
 dove
 (c\') è il coefficente del termine di 1°grado,
 (c\'\') è il coefficente del termine di 2°grado
 
 2) dimostrare che lo spazio euclideo diviso da n rette è sempre colorbile di giallo e rosso in maniera che 2 regioni confinanti non abbiano lo stesso colore.
 
 So che sono piuttosto facili quindi i mostri sacri non rispondano subito ma diano tempo anche agli altri. Al limite rispondete in bianco.

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Forse mi sbaglio oppure non ho capito la traccia,ma
 il 1° quesito sembra avere qualche \"bug\".
 Infatti se consideriamo il polinomio
 x^3-7x^2+14x-8 ,i suoi zeri,che sono 1,2 e 4,soddisfano la
 condizione richiesta (42<49<56) ma non possono essere
 le misure dei lati di un triangolo.
 Probabilmente la condizione e\' solo necessaria ma non sufficiente
 oppure in essa deve figurare anche il termine noto.
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 08-07-2004 01:05 ]

simon04 · Messaggio da **simon04** » 01 gen 1970, 01:33

Provo il secondo per induzione :
 per n = 0 è ovvio
 Supponiamo ora che date n rette nel piano sia possibile colorare le regioni createsi con soli due colori (giallo e rosso) in modo che due regioni confinanti abbiano colori diversi.
 Tracciamo l\' n+1-esima retta. Essa divide il piano in due semipiani che chiameremo X e Y. Cambiamo ora il colore ad ogni regione nel semipiano Y.
 Dimostriamo che la nuova colorazione rispetta le condizioni della tesi.
 Consideriamo 2 generiche regioni confinanti A e B :
 - Se A e B appartengono allo stesso semipiano esse erano già divise prima di tracciare l\' n+1-esima retta e pertanto hanno colore differente per l\'ipotesi induttiva.
 - Se A e B appartengono a semipiani opposti, prima di tracciare l\'n+1-esima retta appartenevano alla stessa regione (adesso sono adiacenti) e pertanto avevano lo stesso colore. Nella nuova colorazione viene cambiato il colore a uno solo dei 2 e quindi hanno nuovamente colore differente.
 Questo dovrebbe permettere di concludere (spero)...
 
 Ciao
 Simon

colony · Messaggio da **colony** » 01 gen 1970, 01:33

c\'è un errore nel ragionamento...considera il secondo caso, cioè che prima A e B facessero parte della stessa porzione di spazio: se prima di tracciare l\'n+1-esima retta la condizione era rispettata, significa che la regione AB confinava con regioni di colore diverso. pertanto se tracciata la retta la regione AB viene divisa in 2 regioni dello stesso colore e ad una delle due viene cambiato colore, ci sarà almeno una regione adiacente ad A o B (a seconda di quella che cambi) dello stesso colore.

simon04 · Messaggio da **simon04** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-08 12:42, colony wrote:
 c\'è un errore nel ragionamento...considera il secondo caso, cioè che prima A e B facessero parte della stessa porzione di spazio: se prima di tracciare l\'n+1-esima retta la condizione era rispettata, significa che la regione AB confinava con regioni di colore diverso. pertanto se tracciata la retta la regione AB viene divisa in 2 regioni dello stesso colore e ad una delle due viene cambiato colore, ci sarà almeno una regione adiacente ad A o B (a seconda di quella che cambi) dello stesso colore.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Non riesco a capire il tuo ragionamento.
 Quella che tu chiami regione AB (penso che tu intenda AB = A U B) è divisa dal\'n+1-esima retta ed è di 2 colori differenti (dopo aver cabiato colore).
 Supponiamo di aver cambiato colore a B, allora hai cambiato colore a tutte le regioni del semipiano in cui si trova B (che ho chiamato Y), comprese quelle a lui adiacenti, che prima erano di colore differente e lo rimangono anche adesso.
 L\'altra regione adiacente a B è A che ha chiaramente colore diverso
 
 Ciao
 Simon
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: simon04 il 08-07-2004 13:47 ]

colony · Messaggio da **colony** » 01 gen 1970, 01:33

hai ragione...in effetti non ho pensato abbastanza <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> ...

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-08 00:42, karl wrote:
 Forse mi sbaglio oppure non ho capito la traccia,ma
 il 1° quesito sembra avere qualche \"bug\".
 Infatti se consideriamo il polinomio
 x^3-7x^2+14x-8 ,i suoi zeri,che sono 1,2 e 4,soddisfano la
 condizione richiesta (42<49<56) ma non possono essere
 le misure dei lati di un triangolo.
 Probabilmente la condizione e\' solo necessaria ma non sufficiente
 oppure in essa deve figurare anche il termine noto.
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Credo che tu abbia ragione e la traccia sia sbagliata. Purtroppo non dispongo di una soluzione dell\'autore del problema.
 Quella che ho trovato io riguarda principalmente la risoluzione delle disequazioni che si ottengono sostituendo le radici a, b, c, al posto dei coefficenti e trovando in particolare grazie al secondo segno di disuguaglianza che a,b,c rispettano le classiche disequazioni sui lati del triangolo. Mi ero fermato qui, considerando risolto il problema, ma in effetti però questa condizione potrebbe non essere sufficente, e l\'esempio da te proposto mi sembra funzionare.
 A questo punto chiedo il parere di gente più brava per sapere se effettivamente tale problema è impostato male e nel qual caso se è possibile modificare la relazione per renderla anche sufficente.

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-08 11:37, simon04 wrote:
 
 Provo il secondo per induzione :
 per n = 0 è ovvio
 Supponiamo ora che date n rette nel piano sia possibile colorare le regioni createsi con soli due colori (giallo e rosso) in modo che due regioni confinanti abbiano colori diversi.
 Tracciamo l\' n+1-esima retta. Essa divide il piano in due semipiani che chiameremo X e Y. Cambiamo ora il colore ad ogni regione nel semipiano Y.
 Dimostriamo che la nuova colorazione rispetta le condizioni della tesi.
 Consideriamo 2 generiche regioni confinanti A e B :
 - Se A e B appartengono allo stesso semipiano esse erano già divise prima di tracciare l\' n+1-esima retta e pertanto hanno colore differente per l\'ipotesi induttiva.
 - Se A e B appartengono a semipiani opposti, prima di tracciare l\'n+1-esima retta appartenevano alla stessa regione (adesso sono adiacenti) e pertanto avevano lo stesso colore. Nella nuova colorazione viene cambiato il colore a uno solo dei 2 e quindi hanno nuovamente colore differente.
 Questo dovrebbe permettere di concludere (spero)...
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Non capisco come tu abbia dimostrato che la colorazione richiesta sia effettivamente possibile dopo aver tracciato la n+1esima retta. Alcune obbiezioni:
 
 1)non dimostri come e neanche che la nuova colorazione sia possibile infatti ti nascondi dietro le parole
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 
 - Se A e B appartengono a semipiani opposti, prima di tracciare l\'n+1-esima retta appartenevano alla stessa regione (adesso sono adiacenti) e pertanto avevano lo stesso colore. Nella nuova colorazione viene cambiato il colore a uno solo dei 2 e quindi hanno nuovamente colore differente.
 
 Supponiamo di aver cambiato colore a B, allora hai cambiato colore a tutte le regioni del semipiano in cui si trova B (che ho chiamato Y),
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Senza spiegare come effettivamente colori le regioni e che significato ha \"spostare\", rispetto a cosa?sinceramente mi sembra che dai un po troppo per scontato l\'aspetto che secondo me è più delicato come effettuare la colorazione.
 
 2) esattamente su cosa applichi l\'induzione? ho capito che disegni la n+1esima retta e assumi che per n rette la colorazione è possibile, ma non ho capito su cosa induci cioè dove dimostri esattamente che disegnando la n+1 retta hai una configurazione che dipende dalla precedente e quindi dove sfrutti l\'induzione?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

per quanto riguarda il primo problema, è molto simile a uno di qualche anno fa del test della normale, e si trova già da qualche parte nel forum..
 
 se volete quando ho un po\' di tempo posto il testo esatto (che comunque chiedeva di trovarla, la condizione)

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

basta anche il link della precedente discussione se proprio non hai voglia di scrivere il testo e le conclusioni del precedente dibattito.

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

L\'avevo postato io... Ecco il testo:
 Data l\'equazione
 x^3-px^2+qx+r = 0
 sapendo che p, q, r sono reali e che le tre radici sono strettamente positive.
 Quale condizione su p, q, r garantisce l\'esistenza di un triangolo con per lati le tre radici?
 
 
 Ed ecco la soluzione dello stesso Talpuz! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
 se a,b,c sono le radici, devono essere soddisfatte
 
 a+b>c, a+c>b, c+b>a
 
 o le equivalenti
 
 a+b-c>0, a+c-b>0, b+c-a>0
 
 inoltre, se una delle disug sopra non è soddisfatta, allora le altre due lo sono sicuramente.
 
 quindi se il prodotto (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) è positivo, le tre disug sono soddisfatte, e il triangolo c\'è, se è negativo ce n\'è una che non è soddisfatta, e il triangolo non c\'è
 
 imponendo (p-2a)(p-2b)(p-2c)>0, svolgendo i conti, e esprimendo il risultato in funzione di p,q,r (l\'espressione è simmetrica quindi questo è sicuramente possibile) hai la relzione cercata
 
 
 Ovvero,
 p^3<4pq+8r
 
 ...

simon04 · Messaggio da **simon04** » 01 gen 1970, 01:33

Cerco di rispondere per quanto mi è possibile a psion.
 1)Dimostro che la colorazione con soli due colori è possibile anche dopo aver tracciato l\'n+1-esima retta dimostrando che, prese a caso due generiche regioni confinanti (sempre dopo aver tracciato l\'n+1-esima retta) è possibile fare in modo che esse abbiano colore diverso (questo semplicemente invertendo il colore a tutte le regioni che si trovano in uno dei due semipiani in cui l\'n+1-esima retta divide il piano).
 
 Forse dovrei usare il termine \"invertire\" il colore, invece di \"cambiare\", comunque il significato è quello che se una certa regione è gialla diventa rossa e viceversa.

2) esattamente su cosa applichi l\'induzione? ho capito che disegni la n+1esima retta e assumi che per n rette la colorazione è possibile, ma non ho capito su cosa induci cioè dove dimostri esattamente che disegnando la n+1 retta hai una configurazione che dipende dalla precedente e quindi dove sfrutti l\'induzione?

2)L\'induzione la applichi facendo vedere che se vale P(n) supposta vera, vale anche P(n+1), cioè anche con n+1 rette tracciate nel piano al posto di n è ancora possibile una colorazione che faccia uso di soli 2 colori.
 
 Spero di essermi spiegato, so di non essere molto chiaro
 
 Ciao
 Simon

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

Non so perchè sono così formale (non lo sono mai stato ne con me stesso ne con altri) ma simon non so quanto varrebbe la tua dimostrazione in una gara ufficiale, sostanzialmente è corretta, cmq qualche difetto almeno nell\'esposizione ce l\'ha, per esempio:
 
 Immagina di avere il piano euclideo tagliato da 1 croce in 4 regioni colorate in senso orario G, R, G, R.
 
 Traccia ora una retta che non concorra nello stesso punto con le altre 2.
 
 Chiamando il triangolo regione A e il trapezio aperto all\'infinito nello stesso semipiano rispetto alla retta appena tracciata B, secondo la tua A e B rispettano la colorazione richiesta e così pure tutto il semipiano che contiene queste 2 regioni. Però quando vogliamo colorare le 2 regioni momentaneamente bianche dell\'altro semipiano non riusciamo a farlo nel modo richiesto neppure se invertiamo i colori che avevano orginariamente in partenza.
 
 Credo che forse una prova più precisa e diretta delle tue idee sia necessaria, perchè quello che hai scritto finora non è inoppugnabile al rigore logico.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: psion_metacreativo il 09-07-2004 23:46 ]

simon04 · Messaggio da **simon04** » 01 gen 1970, 01:33

Hai perfettamente ragione, l\'idea andrebbe formalizzata meglio. Adesso penserò come fare, comunque, in riferimento a quanto da te detto, non ci sono regioni bianche, perchè tracciando l\'n+1esima retta ogni punto mantiene il suo colore originale. E\' altresì ovvio che ogni regione tagliata dalla retta verrà divisa in 2 nuove regioni che prima di invertire il colore ad un semipiano hanno lo stesso colore.
 So di non riuscire a spiegare bene a parole il concetto. In riferimento all\'esempio che hai fatto :
 Configurazione iniziale :
 <IMG SRC="http://web.tiscali.it/simoferraro/mate/im1.GIF">
 Tracciando la retta :
 <IMG SRC="http://web.tiscali.it/simoferraro/mate/im2.GIF">
 Invertendo il colore a tutte le regioni che si trovano nel semipiano a destra della nuova retta.
 <IMG SRC="http://web.tiscali.it/simoferraro/mate/im3.GIF">
 Seguendo ogni volta lo stesso procedimento dovresti riuscire ad aggiungere un qualunque numero finito di rette (o almeno spero).....
 Appena ho tempo provo a formalizzare la costruzione.
 
 Ciao
 Simon
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: simon04 il 10-07-2004 17:30 ]