[N] Un numero speciale.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Trovare tutti gli eventuali numeri naturali n di 10 cifre che godono della proprietà per cui la k-esima indica quante volte la cifra k figura appunto in n, se k = 1, 2, ..., 9; e la cifra meno significativa rappresenta, similmente, il numero degli zeri in esso presenti. Si ammetta di operare in base decimale e che le cifre vengano indicizzate a partire da sinistra.
 
 P.S.: non conosco l\'origine del problema, che mi è stato proposto qualche giorno fa, in chat, da tale ^paipoks^. E\' simpatico, per cui - se vi va - dategli un\'occhiata.
 
 
 \"Tot capita, tot sententiae.\" - saggezza antica

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao. Simpatico, questo problema. Boh, credo che quella che vado a scrivere sia la soluzione più farragginosa tra tutte quelle possibili, comunque...
 
 Claim: L\'unica soluzione è 2100010006.
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>\"Maybe. But so great a claim will need to be established, and clear proofs will be required.\"</BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Proof: indico con ai il numero di cifre \"i\" in N. Osservo che sumi(ai) = 10, dato che N ha 10 cifre. Sia x il massimo t.c. ax > 0. x è anche la cifra massima che compare in N.
 
 Allora ai = 0 per i = x+1,...,9, ossia ci sono almeno 9-x zeri, cioè a0 >= 9-x. a0 può valere al massimo x (che è la cifra massima). Ne segue che x >= 5. Inoltre, ax deve essere 1, altrimenti ci sarebbero almeno due \"x\", e la somma delle cifre supererebbe 10. Da questo segue anche che a1 >=1.
 
 L\'unico \"x\" deve essere necessariamente sulla prima o sull\'ultima cifra. Se così non fosse, Chiamo y il posto occupato dall\'unico \"x\" (assia t.c. ay = x). Si avrebbe 10 >= a1 + ay + ax + a0 >= 1 + x + 1 + 9-x = 11. Assurdo. Se fosse sulla prima, ci sarebbero almeno x uni, e un x e la somma delle cifre supererebbe 10 (se x > 5 ho già superato; altrimenti se x = 5, almeno un uno è su una cifra non zero, non uno e non \"x\", facendo sballare il conto). Morale della favola, ho provato che a0 = x.
 
 Pongo z = a1. Osservo che z > 1. Se fosse 1, ci sarebbero almeno due uni. Del resto, deve essere z < x, dato che ho già provato che \"x\" sta in fondo. Inoltre az >= 1. Allora 10 >= a1 + az + ax + a0 >= z + 1 + 1 + x >= z + 7. Da cui z = 2 oppure 3.
 
 Se fosse z = 3, avremmo tutte uguaglianze, x = 5 e avremmo cinque zeri, tre uni, un tre e un cinque. Ma la somma delle cifre farebbe 11.
 
 Allora deve essere z = 2. Allora abbiamo due uni, almeno un due, un \"x\" e x zeri. Non ci possono essere due due, altrimenti la somma delle cifre fa almeno 6 + x, che è troppo.
 
 Riassumendo: abbiamo due uni, un due, un \"x\" e x zeri, cioè ho già riempito almeno x+4 cifre, con somma x+4. Da questo segue subito che x <=6. x non può essere 5. Se lo fosse, mancherebbe all\'appello un uno da qualche altra parte, per far tornare la somma delle cifre, ma so che gli uni sono esattamente due e li ho già trovati. Allora x = 6 e quindi 2100010006 è l\'unica soluzione. []
 
 Ciao.
 
 M.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 07-10-2004, 15:28, marco wrote:
 Se [x] fosse sulla prima, ci sarebbero almeno x uni, e un x e la somma delle cifre supererebbe 10 (se x > 5 ho già superato; altrimenti se x = 5, almeno un uno è su una cifra non zero, non uno e non \"x\", facendo sballare il conto). Morale della favola, ho provato che a0 = x.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Uhm... forse mi sbaglierò, ma qui ho trovato che tu mi sia venuto meno per un attimo! Difatti, since proofs have to be clear, avrei lungamente preferito poter leggere (in exemplum) che, assunto x = 5 ed a1 = x, necessariamente: a2 = a3 = a4 = 1, onde dedurne dover essere - in evidente assurdo: 10 = sumi = 0...9 ai >= 5 + 2 + 3 + 4. In vero, è quel tuo \"almeno un\" che proprio non mi riesce di mandar giù... Ma sì, non è il caso di leziare! In fondo, voces inanes fusae non sunt...
 
 P.S.: ah, giusto per non smentirmi mai, una piccola annotazione linguistica...
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 07-10-2004, 15:28, marco added:
 [...] credo che quella che vado a scrivere sia la soluzione più farragginosa tra tutte quelle possibili, comunque...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Orbene, ti dirò... \"farragginoso\" è termine a poco dire desueto. Non che questo a me dispiaccia, anzi... is qui me cognoscit, ben sa ch\'io prediligo le anticaglie al progressismo della modernità. Il punto è un altro! Grande modo, quanti insegnanti credi che non ravviserebbero un grave errore ortografico in un tema d\'italiano in cui uno studente avesse a scrivere \"farragginoso\" piuttosto che \"farraginoso\", uh? Sì, lo so, è una domanda retorica! Pertanto scusami, ma nel bene dei nostri ragazzi e per amore della lingua, proprio non avrei potuto risparmiarmi dall\'essere quel solito rompipalle che, indubitabilmente, fui sempre e sono...
 
 Ok, son certo che la prossima volta te ne ricorderai, marco! E poi, suvvia, non ti crucciare inutilmente... Credimi, la mia soluzione è senza alcun dubbio ben più farraginosa della tua. D\'altra parte, per quel che pare, fra i due il pedante sono io, e dico guai a chi osasse anche soltanto pensare di potermi soffiare via l\'ambito titolo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 
 Sciaaaoooooo.
 
 
 \"Vis dicendi omnia potest.\" - HiTLeuLeR parafrasando Cicerone [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 09-10-2004 15:54 ]

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

Ok. Grazie per l\'appunto ortografico. Beh, allora, se dobbiamo fare i pignoli fino in fondo, ho tagliato corto anche nel punto dove dico che ax < 2. Se fosse x = 5 e a5 = 2, allora avrei due cinque e almeno un due.
 
 Nel punto sottolineato da Hit, ricordiamoci che eravamo nel sottocaso in cui supponevo che l\'unico \"x\" fosse sulla prima cifra e che quindi dovessero esserci x uni. x è almeno 5 (anzi, proprio 5, nel sottosottocaso cattivo). Però, essendocene almeno \"uno su una cifra [di posto] non zero, non uno e non x\", ci deve essere da qualche altra parte una cifra diversa. Quindi ho un cinque, cinque uni e almeno un\'altra cifra non nulla. Totale: almeno 12. Troppo.
 
 E ora vi contropropongo la seguente
 
 Variante
 Che cosa succede se invece chiediamo che N abbia b cifre e sia scritto in base b, con la generalizzazione ovvia del quesito a basi diverse da 10?
 
 [a onore del vero, devo dire che ho solo formulato il problema, ma non possiedo ancora la soluzione (tranne, of course, nel particolarissimo caso b=10)]
 
 Ciao.
 
 M.
 
 EDIT: sistemata l\'ortografia e qualche commento qui e là...
 
 
 \"A worthy man, but his memory is like a lumber-room: thing wanted always buried.\" [ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 08-10-2004 08:48 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

@marco: ok, adesso sono mooolto più contento! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 @community: in quanto alla generalizzazione del problema originale proposta da marco, temo che una soluzione unitaria sia tutt\'altro che possibile! E in verità, alcune prove effettuate su un certo numero di casi particolari suggerirebbero un\'eccessiva irregolarità nel comportamento sia del numero che della forma delle soluzioni, sicché...
 
 In ogni caso, guardate un po\' cos\'ho scoperto scribacchiando a proposito del quesito:
 
 Lemma: sia n un numero naturale la cui rappresentazione posizionale in base b, essendo b un intero > 1, sia una parola di lunghezza b nei simboli 0, 1, ..., b - 1. Se a1, a2, ..., ab sono le cifre della rappresentazione b-esimale di n così postulata, indicizzate (come di consueto) da sinistra a destra, e se n è soluzione del problema generale formulato da marco, allora: sumi=1...b-1 i · ai = b.
 
 Naturalmente, l\'invito è a dimostrarlo! Enjoy yourselves...
 
 EDIT: ehm... diciamo che avevo dimenticato qualche ipotesi, va\'... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 
 
 \"Del porco non si getta via mai niente.\" - saggezza popolare [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 08-10-2004 16:37 ]

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao. Mi sono fatto una domanda e mi do la risposta (mi sento quasi Marzullo allo specchio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">). Inoltre la dimostrazione che vado a postare copre tutte le basi e ridicolizza quanto a semplicità la mia precedente.
 ------------------------------
 Sia la notazione come prima. Sia k il numero di cifre positive in N. Quindi ci sono esattamente b - k zeri. Del resto ci deve essere almeno uno zero (altrimenti ho dei guai con l\'ultima cifra). Considero la somma delle cifre di N. Essa è formata da k addendi positivi e uno di essi vale b-k. L\'unica possibilità è che gli altri addendi siano un due e k-2 uni. Le cifre che compaiono (che sono un insieme di k elementi) sono contenute nell\'insieme { 0, 1, 2, b-k } (dove b-k non è necessariamente distinto) e contengono { 0, 2, b-k }. Da questo segue che le sole possibilià sono k = 2,3,4.
 
 Se k = 2, allora per forza b-k = 2; b = 4 e 0202(4) è l\'unica soluzione, a patto che si accettino numeri scritti con 0 come cifra iniziale.
 
 Se k = 3, allora le cifre positive sono per forza un due, un uno e un \"b-k\", dove quest\'ultimo è 1 o 2. Nel primo caso, il numero è 2101(4). Nel secondo, il numero è 12002(5).
 
 Se k = 4, allora le cifre positive sono per forza un due, due uni e un \"b-k\", dove quest\'ultimo è almeno 3. Allora b>=7 e il numero è 21[b-7 zeri]1000(b-4)(b). 2100010006 è la soluzione che si trova ponendo b=10 e arrivando alla stessa conclusione del quesito primigenio. []
 ------------------------------
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
 Ciao.
 
 M.[addsig]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Beh, il numero di prove era forse eccessivamente basso (due)! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 
 \"Six months in the lab can save you a day in the library.\" - Albert Migliori