[N] La funzione di valenza della totiente di Eulero.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Problema 1: per ogni m € N0, diremo molteplicità di m la cardinalità (eventualmente infinita) dell\'insieme {n € N0: phi(n) = m}. La mappa
 Nphi(·): N0 --> N* (si legga: \"N unito al punto all\'infinito\") che ad ogni m € N0 fa corrispondere la sua molteplicità è detta funzione di valenza della totiente di Eulero. Si provi che:
 
 i) Nphi(m) < +inf, per ogni m € N0;
 
 ii) Nphi(m) = 0 se m è un dispari intero > 1;
 
 iii) dimostrare che esistono infiniti m € N0 tali che: Nphi(m) = 2.
 
 Ho classificato il problema, nel suo complesso, come un harder, nonostante che i quesiti i) e ii) siano senza dubbio di livello \"principiante\". La scelta è tuttavia giustificata dal fatto che, personalmente, ho trovato piuttosto \"duro\" dimostrare il punto iii), e poi anche dalla considerazione che il quesito coinvolge nozioni probabilmente sconosciute al 90% degli utenti(1) del forum, il che - nella mia fantasia - già lo rende \"scarsamente digeribile\" in partenza: a questo proposito, vi consiglio vivamente di rivolgervi ad uno specialista del settore, il nostro Mind, il quale vi saprà suggerire senza alcun dubbio qualche trick per regolarizzare le attività del vostro intestino. Pare infatti ch\'egli dia di corpo ch\'è una meraviglia, e che addirittura vada <a href=\"http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... =7\">in giro</a> vantandosene pubblicamente e decantando le glorie del suo c**o... ma vi pare \"Normale\"?!? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 (1): sì, le stime sono ottimistiche, lo so... ma non ha molta importanza, a pensarci bene! Quindi, niente commenti, grassie...
 
 EDIT: avevo dimenticato il punto iii), d\'oooh...
 
 
 \"Uno sciocco non entra, non esce, non si siede, non si alza, non sta in piedi come un uomo di spirito.\" - Jean de La Bruyère [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-11-2004 10:07 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Ne approfitto per aggiungere alla lista dei precedenti un altro problema sulla funzione di valenza, e tirare un po\' su questo thread, nella speranza che qualche anima pia voglia degnarlo delle proprie attenzioni...
 
 Problema 2: nelle stesse notazioni del problema n° 1, si dimostri che:
 maxlimn --> +inf Nphi(2n) = +inf sse esistono infiniti primi di Fermat.
 
 Per completezza, ricordo che: i) un primo di Fermat è semplicemente un primo naturale della forma Fn := 22n + 1, con n € N; ii) se {xn: n € N} è un\'arbitraria successione di numeri reali, si pone: maxlimn --> +inf xn := sup(K), ove K è l\'insieme di tutti e soli gli l € R* (si legga: \"R esteso\") per i quali esiste un\'estratta {xnk: k € N} di {xn: n € N} tale che: l = limk --> +inf xnk.2n
 
 Ho marchiato il problema di \"rosso\" cosciente del fatto che la sua formulazione utilizza nozioni, obiettivamente, poco olimpiche. Tuttavia, se i più audaci volessero dargli un\'occhiata, beh... credo che potrebbe essere comunque istruttivo. In fondo, se si esclude la definizione qui sopra menzionata, il problema è quasi banale e si risolve utilizzando esclusivamente considerazioni di Teoria dei Numeri Elementare. E\' soltanto la sua formulazione a incutere (un po\' di) timore!
 
 
 \"And now... ahmmm... another psycological exercise.\" - A. M. Vinogradov [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-11-2004 10:05 ]

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-14 18:53, HiTLeuLeR wrote:
 vi consiglio vivamente di rivolgervi ad uno specialista del settore, il nostro Mind, il quale vi saprà suggerire senza alcun dubbio qualche trick per regolarizzare le attività del vostro intestino.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Se arrivano a leggere fino a qui, non ne hanno più bisogno... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-16 12:24, MindFlyer wrote:
 Se arrivano a leggere fino a qui, non ne hanno più bisogno... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Bene!!! Sono felice di sapere che trovi la lettura del mio problema stimolante, Mind. In fondo, il vivaio degli olimpionici dovrà pur essere fertilizzato, in qualche modo... Raga, proporrei di tributare a questo punto un encomio alle flatulente cag**e di cui, generosamente e senza alcun risparmio, il nostro valoroso ci fa dono. Dal profondo delle mie viscere turbolente grazie, Mind... grazie di esistere!!! Ehi, continua sempre ad essere così produttivo, mi raccomando... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 
 \"Il sommo coraggio è fare senza alcun testimone quegli stessi atti che saremmo in grado di compiere con gli occhi del mondo puntati su di noi.\" - François de La Rochefoucauld [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-11-2004 13:33 ]