Trovare il minimo numero naturale non palindromo tale che se elevato al quadrato dia come risultato un numero palindromo.
Nota: palindromo significa che puo' essere letto indifferentemente da destra a sinistra o da sinistra a destra. Per esempio: 4224, 11, etc.
Quadrati palindromi
...matematizzando il tutto, forse...
NOTA: nel seguito, si assume implicitamente di operare in base decimale.
Sia dunque $ n $ un intero positivo tale che $ n^2 $ risulti un palindromo. Ancora, sia $ v_{10}: \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{N}_0 $ la funzione che ad ogni numero naturale non nullo fa corrispondere il numero delle sue cifre significative nella corrispondente rappresentazione posizionale in base $ 10 $. Poiché si vuole che $ n $ non sia esso stesso un palindromo, deve imporsi necessariamente $ v_{10}(n) \geq 2 $.
Dacché inoltre si chiede di determinare il minimo $ n\in\mathbb{N}_0 $ che goda della proprietà sopra enunciata, si può adottare di fatto un approccio euristico di tipo bottom-up e tentare in prima istanza una ricerca limitata agli interi positivi di due cifre il cui quadrato sia $ < 10^3 $. Assumendo perciò $ n = 10a + b $ ed $ n^2 = 10^2 c + 10d + c $, con $ a, b, c, d\in\{0, 1, \ldots, 9\} $ e $ ac \neq 0 $, si trova innanzitutto che dev'essere: $ b^2 \equiv c \bmod 5 $, ovvero $ c \equiv \pm 1 \bmod 5 $, e quindi $ c\in\{1, 4, 6, 9\} $. Si osserva inoltre che: $ (10a+b)^2 = 10^2 c + 10d + c $ solo se $ b^2 \!\mod 10 = c $. Ciò premesso, procediamo per ispezione dei casi.
$ \blacksquare\mbox{ }c = 9 $: dev'essere $ (10a + b)^2 = 10^2 \cdot 9 + 10 d + 9 $, cosicché necessariamente $ a = 3 $, in quanto $ 30^2 = 900 $ e $ 40^2 > 10^3 $. E siccome bisogna imporre: $ b^2 \!\mod 10 = 6 $, ne viene che la condizione indicata è perciò eventualmente soddisfatta solo se $ b = 3 $ oppure $ b = 9 $. In entrambi i casi, tuttavia: $ (10a+b)^2 \geq 33^2 > 30^2 + 6 \cdot 30 > 10^3 $;
$ \blacksquare\mbox{ }c = 1 $: si tratta di determinare $ a, b, d \in\{0, 1, \ldots, 9\} $ tali che: $ (10a+b)^2 = 10^2 + 10d + 1 $. Siccome $ 10^2 = 100 $ e $ 15^2 > 200 $, la condizione indicata risulta eventualmente soddisfatta solo se $ a = 1 $ e $ 0 < b < 5 $. Poiché del resto deve imporsi $ 1 = b^2 \!\mod 10 $, ne seguita che l'unica potenziale soluzione si ottiene assumendo $ a = b = 1 $. E questo è inaccettabile, in quanto è richiesto che $ n = 10a + b $ non sia esso stesso un palindromo;
$ \blacksquare\mbox{ }c = 4 $: si vuole $ (10a+b)^2 = 10^2 \cdot 4 + 10d + 4 $. Dacché $ 20^2 < 4\cdot 10^2 $ e $ 24^2 > 5 \cdot 10^2 $, questo impone $ a = 2 $ e $ b = 2 $, in quanto evidentemente è necessario che sia $ b \equiv c \bmod 2 $. La soluzione così ottenuta è tuttavia inammissibile, visto che $ n = 10a + b $ non ha da essere un palindromo;
$ \blacksquare\mbox{ }c = 6 $: là dove esistano, si cercano interi $ a,b,d\in\{0, 1, \ldots, 9\} $ tali che: $ (10a+b)^2 = 10^2 \cdot 6 + 10d + 6 $. Siccome $ 24^2 < 6 \cdot 10^2 $ e $ 30^2 > 9 \cdot 10^2 $, necessariamente $ a = 2 $ e $ b = 6 $, poiché s'impone $ b^2\! \mod 10 = 6 $. Se viene $ n = 26 $, e la specifica del problema è soddisfatta se esiste una cifra decimale $ d $ tale che: $ (20 + 6)^2 = 10^2 \cdot 6 + 10d + 6 $, ovvero: $ 10^2 \cdot 6 + 10^2 \cdot 2 + 10 \cdot 4 + 10 \cdot 3 + 6 $ $ = 10^2 \cdot 6 + 10d + 6 $, e quest'è possibile sse $ d = 7 $.
Poiché $ 26 $ non è un palindromo, si giunge per questa via alla conclusione già suggerita da Poliwhirl, umpfff...
Sia dunque $ n $ un intero positivo tale che $ n^2 $ risulti un palindromo. Ancora, sia $ v_{10}: \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{N}_0 $ la funzione che ad ogni numero naturale non nullo fa corrispondere il numero delle sue cifre significative nella corrispondente rappresentazione posizionale in base $ 10 $. Poiché si vuole che $ n $ non sia esso stesso un palindromo, deve imporsi necessariamente $ v_{10}(n) \geq 2 $.
Dacché inoltre si chiede di determinare il minimo $ n\in\mathbb{N}_0 $ che goda della proprietà sopra enunciata, si può adottare di fatto un approccio euristico di tipo bottom-up e tentare in prima istanza una ricerca limitata agli interi positivi di due cifre il cui quadrato sia $ < 10^3 $. Assumendo perciò $ n = 10a + b $ ed $ n^2 = 10^2 c + 10d + c $, con $ a, b, c, d\in\{0, 1, \ldots, 9\} $ e $ ac \neq 0 $, si trova innanzitutto che dev'essere: $ b^2 \equiv c \bmod 5 $, ovvero $ c \equiv \pm 1 \bmod 5 $, e quindi $ c\in\{1, 4, 6, 9\} $. Si osserva inoltre che: $ (10a+b)^2 = 10^2 c + 10d + c $ solo se $ b^2 \!\mod 10 = c $. Ciò premesso, procediamo per ispezione dei casi.
$ \blacksquare\mbox{ }c = 9 $: dev'essere $ (10a + b)^2 = 10^2 \cdot 9 + 10 d + 9 $, cosicché necessariamente $ a = 3 $, in quanto $ 30^2 = 900 $ e $ 40^2 > 10^3 $. E siccome bisogna imporre: $ b^2 \!\mod 10 = 6 $, ne viene che la condizione indicata è perciò eventualmente soddisfatta solo se $ b = 3 $ oppure $ b = 9 $. In entrambi i casi, tuttavia: $ (10a+b)^2 \geq 33^2 > 30^2 + 6 \cdot 30 > 10^3 $;
$ \blacksquare\mbox{ }c = 1 $: si tratta di determinare $ a, b, d \in\{0, 1, \ldots, 9\} $ tali che: $ (10a+b)^2 = 10^2 + 10d + 1 $. Siccome $ 10^2 = 100 $ e $ 15^2 > 200 $, la condizione indicata risulta eventualmente soddisfatta solo se $ a = 1 $ e $ 0 < b < 5 $. Poiché del resto deve imporsi $ 1 = b^2 \!\mod 10 $, ne seguita che l'unica potenziale soluzione si ottiene assumendo $ a = b = 1 $. E questo è inaccettabile, in quanto è richiesto che $ n = 10a + b $ non sia esso stesso un palindromo;
$ \blacksquare\mbox{ }c = 4 $: si vuole $ (10a+b)^2 = 10^2 \cdot 4 + 10d + 4 $. Dacché $ 20^2 < 4\cdot 10^2 $ e $ 24^2 > 5 \cdot 10^2 $, questo impone $ a = 2 $ e $ b = 2 $, in quanto evidentemente è necessario che sia $ b \equiv c \bmod 2 $. La soluzione così ottenuta è tuttavia inammissibile, visto che $ n = 10a + b $ non ha da essere un palindromo;
$ \blacksquare\mbox{ }c = 6 $: là dove esistano, si cercano interi $ a,b,d\in\{0, 1, \ldots, 9\} $ tali che: $ (10a+b)^2 = 10^2 \cdot 6 + 10d + 6 $. Siccome $ 24^2 < 6 \cdot 10^2 $ e $ 30^2 > 9 \cdot 10^2 $, necessariamente $ a = 2 $ e $ b = 6 $, poiché s'impone $ b^2\! \mod 10 = 6 $. Se viene $ n = 26 $, e la specifica del problema è soddisfatta se esiste una cifra decimale $ d $ tale che: $ (20 + 6)^2 = 10^2 \cdot 6 + 10d + 6 $, ovvero: $ 10^2 \cdot 6 + 10^2 \cdot 2 + 10 \cdot 4 + 10 \cdot 3 + 6 $ $ = 10^2 \cdot 6 + 10d + 6 $, e quest'è possibile sse $ d = 7 $.
Poiché $ 26 $ non è un palindromo, si giunge per questa via alla conclusione già suggerita da Poliwhirl, umpfff...