Aggiungo questa risoluzione che mi pare abbia una qualche
originalita'.
[per semplicita' di scrittura ho indicato il triangolo
A'B'C' con XYZ (vedi fig. allegata)]
Si ponga la massa 1 in A ,la massa 2 in B e la massa 4 in C.
Il baricentro tra B e C e' in N ( come e' facile verificare)
e quindi il baricentro G di tutte e 3 le masse e' su AN.
Analogamente il baricentro tra A e B e' in M;pertanto G e'
su CM ovvero G coincide con l'intersezione X tra AN e CM.
Ora in A c'e' la massa 4 e in N la massa 1+2=3 e dunque
deve essere AX:XN=3:4 da cui ,componendo AX=(3/7)AN.
Cio' posto ,siano T,R,S le proiezioni ortogonali su AB di
X,C,N rispettivamente.
Dalla similitudine di CRB ed NSB si trae:
CR:NS=CB:NB===>NS=(1/3)CR
Dalla similitudine di ANS e AXT si trae:
XT:NS=AX:AN===>XT=(3/7)NS=(1/7)CR.
Pertanto si ha:
[AXM]=(1/2)AM.XT=(1/2)(1/3)AB.(1/7)CR=(1/21)[ABC]
[ANB]=(1/2)AB.NS=(1/2)AB.(1/3)CR=(1/3)[ABC]
In maniera perfettamente analoga risulta:
[BNY]=[CPZ]=(1/21)[ABC]
Inoltre:
[XMBN]=[ANB]-2[AXM]=(5/21)[ABC] e similmente:[AXZP]=[CZYN]=(5/21)[ABC].
Infine:
[XYZ]=[ABC]-3[AXM]-3[XMBN]=[ABC]-(1/7)[ABC]-(5/7)[ABC] ovvero:
[XYZ]=(1/7)[ABC] C.V.D.
... ma quella euclidea è più bella! (è solo un giudizio estetico naturalmente)
a meno che non mi diate qualcosa da invertire...
. Comprati "Schede Olimpiche", è tipo un bigino dove ci sono scritte le cose fondamentali di mate olimpica e non. 
