Divisibilità per 3

[hexen]

ciao

stamattina a scuola abbiamo provato un po' di quesiti d'esame, fra cui il seguente:

Dimostrare che se la somma delle cifre di un intero (in base 10) è divisibile per 3, allora l'intero è divisibile per 3.

Mia risoluzione:

Siano $ $$n, S(n)$$ $ rispettivamente il numero e la somma delle sue cifre. Abbiamo da dimostrare che:
$ $ 3|S(n) \Rightarrow 3|n$ $

E` noto che $ $$n \equiv S(n) \pmod 9$$ $ il che significa $ $$n=S(n)+9k \quad k \in N$$ $ (1)

Per ipotesi abbiamo che $ $$S(n)=3m$$ $.

Sostituendo quest'ultima nella (1) abbiamo $ $$n=3m+9k=3(m+k)$$ $

La scrittura che viene, $ $$n=3(m+3k)$$ $, già dimostra che $ $3|n$ $, ma di questo me ne sono accorto ora. Stamattina avevo fatto il seguente ragionamento:
"Divido per 3, ho quindi $ $\frac{n}{3}$ $ che implica che 3 divide n"

ma non ne sono troppo convinto, trovo giusto che se avendo n/3 3 divida n "solo perché stiamo trattando con interi"

è corretto quello che ho fatto stamattina o quello di cui mi sono accorto adesso?

[HumanTorch]

Io avrei proceduto così: S(n) è la funzione che indica la somma delle cifre del numero n e se n>9, n>S(n); sappiamo che la differenza fra due multipli di K è anch'essa un multiplo di K; quindi la tesi equivale a dimostrare che n-S(n)=3*T;
ma, se:
n=10^n*x[n]+10^(n-1)*x[n-1]+10^(n-2)*x[n-2]+...+100*x[2]+10*x[1]+x[0];
S(n)=x[n]+x[n-1]+x[n-2]+...+x[2]+x[1]+x[0];
10^n*x[n]+10^(n-1)*x[n-1]+10^(n-2)*x[n-2]+...+100*x[2]+10*x[1]+x[0]-x[n]+x[n-1]+x[n-2]+...+x[2]+x[1]+x[0]=
=9*(111...11*x[n]+...+11*x[1]+x[0])=9*T=n-S(n);
Quindi 9*T è un multiplo di 3, S(n) è un multiplo di 3, ergo n è un multiplo di 3; corollario: S(n)=n (mod 3).