Un quadrato...indiano!

[Poliwhirl]

Questo è tratto dalle olimpiadi nazionali indiane 2004, ed lo consiglio ai meno esperti perché ho constatato che è semplice :

Problem: $ ABCD $ is a convex quadrilateral. $ K, L, M, N $ are the midpoints of the sides $ AB, BC, CD, DA $. $ BD $ bisects $ KM $ at $ Q $. $ QA = QB = QC = QD $, and $ \displaystyle\frac{LK}{LM}=\frac{CD}{CB} $. Prove that $ ABCD $ is a square.

E per chi preferisse, in italiano:

Problema: Sia $ ABCD $ un quadrilatero convesso. Chiamiamo $ K, L, M, N $ i punti medi dei lati $ AB, BC, CD, DA $. La diagonale $ BD $ biseca il segmento $ KM $ nel punto $ Q $. Sia $ QA = QB = QC = QD $, e $ \displaystyle\frac{LK}{LM}=\frac{CD}{CB} $. Dimostrare che $ ABCD $ è un quadrato.

Bye,
#Poliwhirl#

[jim]

Allora... Utilizzando il fatto che QA=QB=QC=QD, si ricava che tale quadrilatero è circoscrivibile in una crconferenza di centro Q e di raggio r=QA=QB=ecc...

Fissiamo il punto A su tale circonferenza, e osserviamo che, per ipotesi, B e D sono diametralmente opposti. Si deduce quindi che l'angolo in A e retto.

Prendiamo ora una qualsiasi corda AB, di cui K è il punto medio; il segmento che lo unisce con M passa per Q per ip. Tale segmento, inoltre, giace sull'asse del segmento AB.
dal momento che abbiamo fissato il punto D come diametr. opposto a B, e poichè l'asse di AB dovrà essere anche l'asse di CD, otteniamo che ABCD è rettangolo.

A questo punto tracciamo anche il segmento NL dividendo così il rettangolo ABCD in quattro rettangolini di area 1/4 di ABCD. è facile notare che KL e LM sono le diagonali dei rettangolini nonchè congruenti alle semidiagonali di ABCD, e il loro rapporto è 1. perchè anche CD/CB=1 deve essere CD=CB, cioè ABCD deve essere un quadrato.

Effettivamentecome risoluzione fa un po' schifo ...

[Poliwhirl]

Utilizzando il fatto che QA=QB=QC=QD, si ricava che tale quadrilatero è circoscrivibile in una circonferenza di centro Q e di raggio r=QA=QB=ecc...

E' inscrivibile in una circonferenza,o puoi anche scrivere che la circonferenza è circoscrivibile al quadrato...

[...](1)Si deduce quindi che l'angolo in A e retto. [...] Dal momento che abbiamo fissato il punto D come diametr. opposto a B, e (2)poichè l'asse di AB dovrà essere anche l'asse di CD, otteniamo che ABCD è rettangolo.

Il fatto che quel quadrilatero sia un rettangolo deriva da entrambe queste tue considerazioni; è bene richiamare tesi, anche se ricavate già precedentemente, al fine di rendere la dimostrazione più semplice al lettore.

A questo punto tracciamo anche il segmento NL dividendo così il rettangolo ABCD in quattro rettangolini di area 1/4 di ABCD. è facile notare che KL e LM sono le diagonali dei rettangolini nonchè congruenti alle semidiagonali di ABCD, e il loro rapporto è 1. perchè anche CD/CB=1 deve essere CD=CB, cioè ABCD deve essere un quadrato.

Questa cosa dei quadratini poteva essere evitata; non che non vada bene, ma potevi cercare di dimostrare la congruenza dei triangoli $ MLQ $ e $ QLK $ usando un criterio di congruenza.
Restano un pò di imprecisioni qua e là che con il tempo imparerai ad evitare...
La dimostrazione nel suo complesso è giusta, però magari poteva essere scritta un pò meglio...

Bye,
#Poliwhirl#

[jim]

Innanzitutto grazie mille per gli utili consigli. C'è anche da dire che l'ho scritta in circa un minuto e trenta secondi mentre con una mano preparavo la borsa per andare ad allenamento e con l'altra battevo alla tastiera... Questo, anche se non solo questo, sono la causa di errori del tipo "circoscrivibile", e in generale di una soluzione un po' confusionaria del problema. Cercherò di riscattarmi con l'altro che hai postato (quello polacco), anche se mi sembra ben più difficile. Ciao!