[Geometria Lineare] Sistema lineare!

[EthanDane]

Spostato da MindFlyer
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Salve a tutti,
vi propongo questo sistema lineare semplice semplice, che haimè non riesco a renderlo a gradini.
Spero che mi possiate aiutare per la risoluzione di tale sistema:

x +y +z = 0
x -y +z = 0
x -3y +z = 0

La matrice completa dovrebbe essere la seguente:

1 +1 +1 0
1 -1 +1 0
1 -3 +1 0

Come la rendete a gradini?
Quali sono le soluzioni?
Grazie mille

[MindFlyer]

Ciau EthanDane, e benvenuto nel forum.
Qui si parla di Olimpiadi della Matematica, e marginalmente di tutto ciò che riguarda la Matematica. Ti invito a leggere le definizioni delle categorie del forum per capire dove postare i tuoi prossimi messaggi.
A presto!

[moebius]

Quali sono le soluzioni?

Secondo me dovresti chiederti "quante" sono le soluzioni...

[Marco]

Ciao, EthanDane. Benvenuto sul Forum. Dopo aver dato un'occhiata alle regole del Forum, se hai tempo e voglia, raccontaci quel che ti va di te, per conoscerci meglio, nella sezione mi presento.

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Il tuo sistema non può essere reso "del tutto" a gradini, per il semplice motivo che una delle tre equazioni è "fasulla", infatti può essere ricavata dalle altre due.

Ad esempio, prendi la seconda equazione, la raddoppi, sottrai la prima... et voilà: hai ottenuto la terza equazione. Questo significa che la terza equazione può essere dedotta dalle prime due (e quindi la puoi cancellare senza timore di cambiare l'insieme delle soluzioni).

A quel punto sei rimasto con due sole equazioni per tre incognite. Significa che il tuo sistema è sottodeterminato, e puoi trovare solo alcune relazioni tra le incognite, ma non risolverlo completamente.

La migliore forma a gradini di quella matrice che puoi ottenere è:

1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 0

L'ultima riga di zeri ti segnala esattamente quel fenomeno che ti ho pocanzi descritto. Si dice anche che la matrice non ha rango massimo e che le equazioni sono linearmente dipendenti.

Ciao. E torna presto.

M.

[EthanDane]

ciao ti ringrazio tantissimo per la risoluzione del sistema anche se ho dei dubbi:

la seconda equazione se la raddoppio risulterà essere: 1 1 1 0 giusto? che sottratta alla prima come tu hai ben detto darà come risultato 0 0 0 0 ma perchè questa sostituisca la terza? che è 1 -3 1 0?
che operazione elementare hai adottato?

Grazie:)

mi vado a leggere le regole

[Marco]

la seconda equazione se la raddoppio risulterà essere: 1 1 1 0 giusto?

Sbagliato. La seconda eqz è 1 -1 1 0. Se la raddoppi, viene 2 -2 2 0.
Questa, meno la prima [che è 1 1 1 0] fa: 1 -3 1 0.

Quindi, 2 seconda - prima - terza = 0 0 0 0.

[EthanDane]

ok ok addesso ho capito..
ho fatto le operazioni che mi hai detto e mi trovo che la terza è 0 0 0 0
ma adesso la prima è la seconda equazione come si trovano così?

1 0 1 0
0 1 0 0



scusami se sono un pò celebroleso ehehe

[moebius]

Per chiarezza:

La matrice completa è:
$ \displaystyle \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 &-3 & 1 & 0 \end{array}\right) $

1° riga $ e_1 $: $ \displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right) $

2° riga $ e_2 $: $ \displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & 0\end{array}\right) $

3° riga $ e_3 $: $ \displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & 0\end{array}\right) $

$ \displaystyle \begin{array}{l} e_1 \to \frac{1}{2} \left(e_1 + e_2\right) \\ e_2 \to \frac{1}{2} \left(e_2 - e_3\right) \\ e_3 \to \left(2e_2 - e_1 -e_3 \right) \\ \end{array} $

[EthanDane]

ok ti ringrazio adesso è + chiaro.
Adesso il sistema sarà:

x= -z ma visto che z=0 allora x=0
y=0

giusto?

[moebius]

no...
il sistema diventa equivalente a:

$ \displaystyle \left\{\begin{array}{l} y = 0 \\ x = -z \\ \end{array}\right. $

Quindi l'insieme delle sue soluzioni (dando per scontato che tu stia cercando le soluzioni reali) è il luogo di punti:
$ S=\left\{\left(x,0,-x\right) \mid x \in \mathbb{R}\right\} $

[EthanDane]

inoltre siccome ne sto facendo altri di esercizi mi chiedevo se mi potete controllare anche con quest'altro sistema.. non vorrei scocciarvi troppo però quindi scusatemi ma se solo avessi la possibilità di avere un prof privato

cmq ho questo sistema:
x +y +z = 0
x +y -z = 0
x -y +z = 0

la matrice completa è la seguente:

1 1 1 0
1 1 -1 0
1 -1 1 0

ho applicato le seguenti operazioni elementari per determinare la matrice a gradini:

-a1 +a2 -> a2
-a1 +a3 -> a3
a2 <-> a3

quindi ho ottenuto la seguente matrice a gradini:

1 1 1 0
0 -2 0 0
0 0 -2 0

mi chiedo se è corretto quello che ho fatto:P

adesso il sistema sarà:

x +y + z = 0
-2y = 0
-2z =0

Giusto?

alla fine l'unica soluzione è x=0?

Grazie mille!!

[EthanDane]

no...
il sistema diventa equivalente a:

$ \displaystyle \left\{\begin{array}{l} y = 0 \\ x = -z \\ \end{array}\right. $

Quindi l'insieme delle sue soluzioni (dando per scontato che tu stia cercando le soluzioni reali) è il luogo di punti:
$ S=\left\{\left(x,0-x\right) \mid x \in \mathbb{R}\right\} $

perchè 0 -x? 0 è il valore di z?
grazie

[moebius]

Banalmente perchè mi son scordato una virgola
Se lo guardi adesso è corretto.
Per l'altro sistema è tutto giusto tranne il fatto che la soluzione è:
$ \displaymath \left\{\begin{array}{l} x=0\\ y=0\\ z=0 \end{array}\right. $

[carro bestiame]

$ S=\left\{\left(x,0, -x\right) \mid x \in \mathbb{R}\right\} $



perché x= -z quindi z=-x


ugualmente puoi fare

$ S=\left\{\left(z,0, -z\right) \mid z \in \mathbb{R}\right\} $

[EthanDane]

$ S=\left\{\left(x,0, -x\right) \mid x \in \mathbb{R}\right\} $



perché x= -z quindi z=-x


ugualmente puoi fare

$ S=\left\{\left(z,0, -z\right) \mid z \in \mathbb{R}\right\} $

ok grazie mille adesso è chiarissimo!!
solo che lo 0 è il valore di y giusto?



Per moebius scusa l'ignoranza
è vero... ho detto una ca**ata
ma allora è giusto dire che in questo caso vi è una sola soluzione? l'esercizio mi porta come risultato: 1 soluzione.