Allora, salve a tutti e bentrovati in questo thread. Mettetevi pure comodi che vado col problemino.
C'è un triangolo di lati a, b, c, ed un punto P interno. Le distanze di P dai vertici sono x, y, z.
Dimostrare che $ a+b+c\geq x+y+z+\min\{x,y,z\} $.
Tratto da un foglio di esercizi post-Cortona di un paio di anni fa.
L'allegro trilatero
-
AlessandroSfigato
- Messaggi: 78
- Iscritto il: 25 feb 2005, 22:07
- Località: Padova
Ops, avevo letto male il testo... ho passato il mio tempo a risolvere un altro problema! 
Però pareva perfino essere sensato...
Boh!!!??? c'ho provato oggi ma non ho concluso.... Però ho trovato una formulina carina non difficile: (a+b+c)^2>=12*rad(3)*A, dove A è l'area... A parte questo, il procedimento che pare possa portare a qualcosa è questo ma non so concludere: chiedo una mano..
Parto da: ax+by+cz=2A. Suppongo x<=y e x<=z... lo posso fare se non suppongo condizione su a,b e c. Ricavo x=2A/a-(b/a)*y-(c/a)*z e trovo la somma
f(y,z) = 2x+y+z = 4A/a+(1-2b/a)*y+(1-2c/a)*z
devo trovare le coppie (y,z) che rendono max quella funzione, considerando però che x è minore o uguale sia a y che a z. Divido il problema in 3 casi (i casi di uguaglianza li lascio perdere per ora):
[1] 2b<a---2c<a
in questo caso i due addendi sono negativi ed abbiamo il max quando y e z sono minimi. Al minimo sono uguali a x. Quindi x=y=z. Il punto P coincide con l'incentro ed usando le formule si scopre che deve essere (a+b+c)^2>=8A, che però è largamente vera per la dis scritta all'inizio.
[2] 2b>a---2c>a
Dobbiamo massimizzare sia y che z in questo caso. Questo vuol dire osservando la scrittura della x ricavata che x=0. Ponendo x=0 e ricavando y, otteniamo
y=(2*A-cz)/b... Sostituendo in f(y,z), otteniamo dopo un pò di calcoli:
f(y,z)=2A/b+z*(1-c/b)
ora, se c>b si deve porre z=x, altrimenti z deve essere massimizzato e posto pari a 2A/c. In ogni caso esce fuori l'altezza massima del triangolo che però rispetta le condizioni...
[3] 2b>a---2c<a
dobbiamo massimizzare un addendo ma minimizzare l'altro. Posto x=y si ricava
y=(2*A-cz)/(a+b)... ehm... ora che ci penso se massimizzo z pongo x=y=0... ehm... si deve trovare una via di mezzo... forse esplicitando x<=y e x<=z con x nella forma sopra si ricavano delle condizioni utili da utilizzare...mmm...
questo caso è in-progress, ma tanto credo che il proc sia errato, ergo... ritorno al boh!!??'! (per ora)
Parto da: ax+by+cz=2A. Suppongo x<=y e x<=z... lo posso fare se non suppongo condizione su a,b e c. Ricavo x=2A/a-(b/a)*y-(c/a)*z e trovo la somma
f(y,z) = 2x+y+z = 4A/a+(1-2b/a)*y+(1-2c/a)*z
devo trovare le coppie (y,z) che rendono max quella funzione, considerando però che x è minore o uguale sia a y che a z. Divido il problema in 3 casi (i casi di uguaglianza li lascio perdere per ora):
[1] 2b<a---2c<a
in questo caso i due addendi sono negativi ed abbiamo il max quando y e z sono minimi. Al minimo sono uguali a x. Quindi x=y=z. Il punto P coincide con l'incentro ed usando le formule si scopre che deve essere (a+b+c)^2>=8A, che però è largamente vera per la dis scritta all'inizio.
[2] 2b>a---2c>a
Dobbiamo massimizzare sia y che z in questo caso. Questo vuol dire osservando la scrittura della x ricavata che x=0. Ponendo x=0 e ricavando y, otteniamo
y=(2*A-cz)/b... Sostituendo in f(y,z), otteniamo dopo un pò di calcoli:
f(y,z)=2A/b+z*(1-c/b)
ora, se c>b si deve porre z=x, altrimenti z deve essere massimizzato e posto pari a 2A/c. In ogni caso esce fuori l'altezza massima del triangolo che però rispetta le condizioni...
[3] 2b>a---2c<a
dobbiamo massimizzare un addendo ma minimizzare l'altro. Posto x=y si ricava
y=(2*A-cz)/(a+b)... ehm... ora che ci penso se massimizzo z pongo x=y=0... ehm... si deve trovare una via di mezzo... forse esplicitando x<=y e x<=z con x nella forma sopra si ricavano delle condizioni utili da utilizzare...mmm...
questo caso è in-progress, ma tanto credo che il proc sia errato, ergo... ritorno al boh!!??'! (per ora)
Sia ABC il triangolo in questione, e L,M,N i punti medi rispettivamente di AB,BC,CA.
Dividiamo ABC nei triangoli ALN,BLM,CMN,LMN, e osserviamo che,in qualunque di questi sia P,sarà sicuramente in almeno due tra i quadrilateri AMNB,BLNC,CLMA.
Senza perdita di generalità,supponiamo sia all'intero di AMNB e BLNC.Abbiamo quindi che $ \displaystyle x+y = AP+BP \leq AN+NM+MB = \frac{a+b+c}{2} $ , e $ \displaystyle y+z = BP+CP \leq BL+LN+NC = \frac{a+b+c}{2} $;quindi risulta $ \displaystyle x+y+z+\min\{x,y,z\} \leq x+2y+z \leq a+b+c $,che è la tesi.Lo stesso procedimento si può applicare se P è compreso in un'altra coppia di quadrilateri.
Dividiamo ABC nei triangoli ALN,BLM,CMN,LMN, e osserviamo che,in qualunque di questi sia P,sarà sicuramente in almeno due tra i quadrilateri AMNB,BLNC,CLMA.
Senza perdita di generalità,supponiamo sia all'intero di AMNB e BLNC.Abbiamo quindi che $ \displaystyle x+y = AP+BP \leq AN+NM+MB = \frac{a+b+c}{2} $ , e $ \displaystyle y+z = BP+CP \leq BL+LN+NC = \frac{a+b+c}{2} $;quindi risulta $ \displaystyle x+y+z+\min\{x,y,z\} \leq x+2y+z \leq a+b+c $,che è la tesi.Lo stesso procedimento si può applicare se P è compreso in un'altra coppia di quadrilateri.
Ultima modifica di thematrix il 02 giu 2005, 14:05, modificato 1 volta in totale.
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
[periodo vietato ai minori di 7 anni] porca p*****a... Le distanze di P dai vertici, non dai lati, come ho considerato sopra... porca, ma vaff... [fine periodo vietato ai minori di 7 anni]
phi, anche tu lo stesso errore?? Immagino che sia il termine "distanze" che confonde... Beh.. proverò a farlo senza leggere la sol di thematrix quando recupererò un rapporto positivo con il problema
...
Stamattina ho completato il proc sopra... Pare che x+y+z+min(x,y,z) inteso come x,y,z le distanze dai 3 lati abbia come massimo a seconda dei casi o l'altezza massima del triangolo oppure 4 volte il raggio del cerchio inscritto... se qualcuno prova a risolvere questo es mi faccia sapere cosa conclude, thx...
phi, anche tu lo stesso errore?? Immagino che sia il termine "distanze" che confonde... Beh.. proverò a farlo senza leggere la sol di thematrix quando recupererò un rapporto positivo con il problema
...Stamattina ho completato il proc sopra... Pare che x+y+z+min(x,y,z) inteso come x,y,z le distanze dai 3 lati abbia come massimo a seconda dei casi o l'altezza massima del triangolo oppure 4 volte il raggio del cerchio inscritto... se qualcuno prova a risolvere questo es mi faccia sapere cosa conclude, thx...
Già, stesso identico errore, info!
In realtà la mia sol era pure completa, credo, anche se del tutto diversa dalla tua...
Purtroppo con il prob vero non ho avuto altrettanta fortuna.
Comunque...
(grande, thematrix!
Finalmente ho capito (credo) come veniva sta sol!)
In realtà la mia sol era pure completa, credo, anche se del tutto diversa dalla tua...
Purtroppo con il prob vero non ho avuto altrettanta fortuna.
Comunque...
dovrebbe essere AN+NM+MB, credo.thematrix ha scritto:x+y = AP+BP <= AM+MN+NB
(grande, thematrix!
Finalmente ho capito (credo) come veniva sta sol!)
), potresti scrivere il tuo procedimento?? Immagino sia più geometrico, elegante, corretto e veloce del mio...Mi pare che il mio approccio sia completamente diverso dal tuo. SSE t'interessa posso anche scollegarmi, scriverlo e poi postarlo, anche se non so quanto valga la pena di continuare a disquisire su di un problema venuto fuori sbagliando a leggere... anche perché la sol del problema VERO implica facilmente il "nostro"...!
-
MindFlyer
-
MindFlyer
Alura... immagino voi intendiate che la dis scritta da te segue immediatamente dato che considerare x y e z come distanze dai lati equivale a diminuire il secondo membro, ma il problema modificato non è questo (altrimenti che gusto c'è?) ma consiste nel trovare il max di x+y+z+min(x,y,z) indicando con x,y,z delle altre quantità... come ho scritto sopra il max mi viene in punti diversi al variare del triangolo ma non so...
Forse ho trovato una sol diversa da quella di thematrix. Presi x<y, z segmenti con un estremo comune P qual'è il triangolo di minor perimetro che riusciamo a formare unendo i vertici liberi? Un triangolo degenere di lati
(y-x)---(y+z)---(z+x) con perimetro 2y+2z... quindi
a+b+c>=2y+2z>2x+y+z
funzia???
(y-x)---(y+z)---(z+x) con perimetro 2y+2z... quindi
a+b+c>=2y+2z>2x+y+z
funzia???