Equazioncina...
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Equazioncina...
Risolvere negli interi l'equazione $ x^4+x=3y^2 $
Conclusione Le uniche soluzioni sono $ (-1,0),(0,0) $
Dimostrazione
Si nota immediatamente che $ x\equiv 0 $ o $ x\equiv 2 $ modulo $ 3 $, senò a destra non saremmo zeri modulo $ 3 $. Poichè $ (x,x^3+1)=1 $, vale una delle due seguenti:
(1)
$ x=l^2 $
$ x^3+1=3j^2 $
(2)
$ x=3l^2 $
$ x^3+1=j^2 $
Il caso (1) è impossibile, si dovrebbe ammettere che esista un quadrato che da resto 2 diviso per tre, per l'altro caso poniamo $ l^2=k $
$ 3k(27k^3+1)=3y^2 $
$ k(27k^3+1)=y^2 $
ma, detto $ g=\gcd(k,27k^3+1) $ si avrà
$ g|k $
$ g|27k^3+1 $
$ g|27k^3+1-27k^2(k)=1 $
dovrebbe essere quindi $ 27k^3+1=n^2 $ per qualche $ n $
$ 27k^3=(n-1)(n+1) $
che implica
$ 27a^3=n-1 $
$ b^3=n+1 $
o
$ a^3=n-1 $
$ 27b^3=n+1 $
assurde perchè non esistono cubi con differenza $ 2 $
Dimostrazione
Si nota immediatamente che $ x\equiv 0 $ o $ x\equiv 2 $ modulo $ 3 $, senò a destra non saremmo zeri modulo $ 3 $. Poichè $ (x,x^3+1)=1 $, vale una delle due seguenti:
(1)
$ x=l^2 $
$ x^3+1=3j^2 $
(2)
$ x=3l^2 $
$ x^3+1=j^2 $
Il caso (1) è impossibile, si dovrebbe ammettere che esista un quadrato che da resto 2 diviso per tre, per l'altro caso poniamo $ l^2=k $
$ 3k(27k^3+1)=3y^2 $
$ k(27k^3+1)=y^2 $
ma, detto $ g=\gcd(k,27k^3+1) $ si avrà
$ g|k $
$ g|27k^3+1 $
$ g|27k^3+1-27k^2(k)=1 $
dovrebbe essere quindi $ 27k^3+1=n^2 $ per qualche $ n $
$ 27k^3=(n-1)(n+1) $
che implica
$ 27a^3=n-1 $
$ b^3=n+1 $
o
$ a^3=n-1 $
$ 27b^3=n+1 $
assurde perchè non esistono cubi con differenza $ 2 $
Ultima modifica di Boll il 03 giu 2005, 17:31, modificato 2 volte in totale.
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1. Per $ x=y=0 $ la tesi è dimostrata;
2.$ x>y $ e $ x<\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3} $ trattandosi di interi positivi, quindi $ x $ e $ y $ sono coprimi; 3.$ y $ è pari;
4. sia $ k=x-y $; quindi $ (3x+3y+1)k=y^2 $, e se $ gcd(k,y)>1 $, ci salta la 2; ma nell'uguaglianza a destra c'è un fattore che non c'è a sinistra: assurdo
EDIT: Aspetta: chi ci dice che sono coprimi $ x $ e $ y $?
Comunque, se non sono coprimi, sia $ g $ il loro gcd, e si nota che $ 3x+3y+1 \equiv 1 (mod g) $, quindi $ g^2|k $.
Dividiamo entrambi i membri per $ g^2 $ e dovremmo essere a posto.
2.$ x>y $ e $ x<\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3} $ trattandosi di interi positivi, quindi $ x $ e $ y $ sono coprimi; 3.$ y $ è pari;
4. sia $ k=x-y $; quindi $ (3x+3y+1)k=y^2 $, e se $ gcd(k,y)>1 $, ci salta la 2; ma nell'uguaglianza a destra c'è un fattore che non c'è a sinistra: assurdo
EDIT: Aspetta: chi ci dice che sono coprimi $ x $ e $ y $?
Comunque, se non sono coprimi, sia $ g $ il loro gcd, e si nota che $ 3x+3y+1 \equiv 1 (mod g) $, quindi $ g^2|k $.
Dividiamo entrambi i membri per $ g^2 $ e dovremmo essere a posto.
Ultima modifica di HumanTorch il 05 giu 2005, 11:35, modificato 4 volte in totale.
Perhaps the world is not made.
Perhaps nothing is made.
Perhaps it simply is, has been, will always be there ...
..a clock without craftsman
Who watches the watchmen?
Alan Moore, "Watchmen"
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Scusa Boll ma proprio non capisco.Boll ha scritto: $ g|27k^3+1-27k^2(k)=1 $
quindi i due numeri sono coprimi, quindi devono essere entrambi quadrati per avere come prodotto un quadrato, ma, poichè salvo $ (0,1) $ non esistono due quadrati consecutivi esistono solo le soluzioni banali.
Come fai a dedurre dal fatto che non esistono due quadrati consecutivi che $ k $ e $ 27k^3+1 $ non sono contemporaneamente quadrati perfetti ?
Grazie
Mah proviamo il secondo:
Osserviamo intento che l'equazione di partenza può essere scritta come:
$ (x-y)(3x+3y+1)=y^2 $, supponiamo ora che esista $ p $ primo tale che $ p|(x-y) $ e $ p|(3x+3y+1) $.
Abbiamo quindi:
$ x=y+pk $ con k in N e sostituendo nella seconda relazione abbiamo
$ 6y+1==0mod(p) $. (1)
Notiamo infine che per come è stato scelto p, questo divide $ y^2 $ e quindi y, ma allora $ y==0mod(p) $ ma questo è in palese contraddizione con la (1).
Ma allora $ (x-y,3x+3y+1]=1 $ ed essendo il loro prodotto un quadrato devono esserlo entrambi.
Spero sia corretto
Ciao a tutti.
Osserviamo intento che l'equazione di partenza può essere scritta come:
$ (x-y)(3x+3y+1)=y^2 $, supponiamo ora che esista $ p $ primo tale che $ p|(x-y) $ e $ p|(3x+3y+1) $.
Abbiamo quindi:
$ x=y+pk $ con k in N e sostituendo nella seconda relazione abbiamo
$ 6y+1==0mod(p) $. (1)
Notiamo infine che per come è stato scelto p, questo divide $ y^2 $ e quindi y, ma allora $ y==0mod(p) $ ma questo è in palese contraddizione con la (1).
Ma allora $ (x-y,3x+3y+1]=1 $ ed essendo il loro prodotto un quadrato devono esserlo entrambi.
Spero sia corretto
Ciao a tutti.
P. Andrea
Consideriamo innanzitutto che, se $ x,y\in\mathbb{N}_0 $ e $ 3x^2+x=4y^2+y $, necessariamente $ x \geq y $, cosicché $ \mid x - y \mid = x - y $. Osserviamo quindi che: $ 3x^2+x=4y^2+y $ sse $ (x-y)\cdot (3(x+y) + 1) = y^2 $; o anche $ (x-y)\cdot (4(x-y) + 1) = x^2 $. Di qui: $ (\gcd(x,y))^2 = \gcd(x^2, y^2) = \gcd((x-y)\cdot $ $ (3(x+y) + 1), (x-y)\cdot (4(x+y) + 1)) = $ $ |x-y| \cdot \gcd(3(x+y) + 1, 4(x-y) + 1) = x - y $, siccome $ \gcd(3u+1, 4u+1) = 1,\,\forall\,u\in\mathbb{Z} $. Segue l'asserto, q.e.d.Simo_the_wolf ha scritto:[...] dati $ x,y $ interi positivi t.c. $ 3x^2+x=4y^2+y $ dimostrare che $ x-y $ è un qudrato perfetto.