Geometria2

[karl]

Un punto P e' scelto all'interno del parallelogramma ABCD in modo che
risulti:
(<APB)+(<CPD)=180°
Dimostrare che si ha:
AB*AD=BP*DP+AP*CP

[Sisifo]

Modificato un poco il latex per leggibilità

EG
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Uuuh... un piccolo problema indifeso. Vediamo di risolverlo!

Sia E il punto della parte opposta di A rispetto a CDtale che $ \angle ECD = \angle PBA $ e $ \angle EDC = \angle PAB $. Allora i triangoli EDC e PAB sono isometrici (II criterio di congruenza) e $ \angle DEC + \angle DPC= \angle APB + \angle DPC = \pi $ per cui CDEP è ciclico e possiamo applicare il teorema di Tolomeo:
$ CD\cdot PE = CE\cdot PD + CP\cdot DE $
Ora, sia S l'intersezione di PE con CD e R l'intersezione del prolungamento di PE con AB, allora
$ SE = RP \rightarrow SE + SP = RP + SP \rightarrow PE = RS = AD $
$ CE = BP $
$ DE = AP $
$ CD = AB $
Poichè i triangoli CDE e ABP sono isometrici.
Sostituendo
$ AB\cdot AD = BP\cdot PD + CP\cdot AP $
Che è la tesi.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Ma semplicemente traslo CDP con CD su BA e ottengolo un quadrilatero ciclico per ipotesi e per tolomeo la tesi...

[edriv]

Ehm... non so se hai letto la sua dimostrazione, ma fa esattamente la stessa cosa, solo con un po' più di cura

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

no infatti non la avevo letta avevo visto solo qualcosa di lungo...