Non so dove metterlo, fate vobis...
Leggendo i quesiti della seconda prova per il liceo scientifico PNI mi è capitato sottomano questo, ovviamente il 99% dei maturandi l'avranno risolto attraverso il calcolo integrale, vi invito ad una soluzione senza integrali (anche se EvaristeG obietterà che li si utilizza comunque...)
Problema 1- Quesito 4 (Maturità 2005 PNI)
Sia dato un piano cartesiano $ Oxy $ e due curve di equazione:
$ \lambda: x^2=4(x-y) $
$ r: 4y=x+6 $
Si determini il valore di $ c $ per il quale la retta del fascio $ y=c $ divide a metà l’area della regione $ S $ del I quadrante compresa tra $ \lambda $ e l’asse $ x $
[Matura 2005] Trovate la soluzione elementare
E' sufficiente usare un paio di volte il teorema di Archimede
(anche se in questo modo "camuffato" si applica comunque il calcolo integrale).
Ecco il procedimento.
Dette O ed A le intersezioni della curva con l'asse x e V il vertice , si ha:
OA=4 , V(2,1) e quindi :
Area_tra_assex_e_curva=2/3.OA.Yv=8/3
Le intersezioni della parabola con y=c sono:
M(2[1-sqrt(1-c)],c) ed N (2[1+sqrt(1-c)],c) e dunque :
Area_tra_(y=c)_e_curva=2/3.MN.(1-c)=8/3.(1-c)^(3/2).
Si ha quindi l'equazione:
8/3.(1-c)^(3/2)=4/3
da cui si ricava c.
[la retta r non c'entra].
(anche se in questo modo "camuffato" si applica comunque il calcolo integrale).
Ecco il procedimento.
Dette O ed A le intersezioni della curva con l'asse x e V il vertice , si ha:
OA=4 , V(2,1) e quindi :
Area_tra_assex_e_curva=2/3.OA.Yv=8/3
Le intersezioni della parabola con y=c sono:
M(2[1-sqrt(1-c)],c) ed N (2[1+sqrt(1-c)],c) e dunque :
Area_tra_(y=c)_e_curva=2/3.MN.(1-c)=8/3.(1-c)^(3/2).
Si ha quindi l'equazione:
8/3.(1-c)^(3/2)=4/3
da cui si ricava c.
[la retta r non c'entra].
