Ed eccone un altro.
Sia ABC rettangolo in A, sia X la proiezione di A su BC; chiamiamo D il simmetrico di A rispetto a B e Y il punto medio di CX. Dimostrare che DX e AY sono perpendicolari.
Retto dall'inizio alla fine
Chiamiamo E il punto di intersezione tre la retta AX e la parallela a BC passante per D.
Per Talete, AX=XE, quindi DX è una mediana.Consideriamo i triangoli ACX e ADE: sono simili (sono rettangoli e ACX=DAE) e l'uno è ottenibile dall'altro tramite una rotazione di 90° più un'omotetia, e la stessa cosa vale per le loro mediane.
Quindi DX si ottiene da AY(mediana di AXC) tramite una rotazione di 90° gradi(che manda segmento in un segmento perpendicolare a quello iniziale) più un'omotetia(che manda un segmento in un segmento parallelo a quello iniziale), cioè DX è perpendicolare a AY.
q.e.d.
Ciao ciao
Francesco
Per Talete, AX=XE, quindi DX è una mediana.Consideriamo i triangoli ACX e ADE: sono simili (sono rettangoli e ACX=DAE) e l'uno è ottenibile dall'altro tramite una rotazione di 90° più un'omotetia, e la stessa cosa vale per le loro mediane.
Quindi DX si ottiene da AY(mediana di AXC) tramite una rotazione di 90° gradi(che manda segmento in un segmento perpendicolare a quello iniziale) più un'omotetia(che manda un segmento in un segmento parallelo a quello iniziale), cioè DX è perpendicolare a AY.
q.e.d.
Ciao ciao
Francesco
Non so se si può fare né se è tanto diversa da quella di frengo,però io la scrivo, tanto al massimo mi correggete:
Si tracci la parallela alla retta AX passante per Y che individua sul segmento CA il punto E. L'angolo REY=ABC, i triangoli CEY e ABX sono similie per Talete RE=EA. Si può notare che le costruzioni della retta DX e della retta AY sono in realtà uguali: infatti basta applicare una rotazione e un omotetia per sovrapporle.
Non sono sicuro che sia una dimostrazione vera e propria
Si tracci la parallela alla retta AX passante per Y che individua sul segmento CA il punto E. L'angolo REY=ABC, i triangoli CEY e ABX sono similie per Talete RE=EA. Si può notare che le costruzioni della retta DX e della retta AY sono in realtà uguali: infatti basta applicare una rotazione e un omotetia per sovrapporle.
Non sono sicuro che sia una dimostrazione vera e propria
"Forse questo mondo è l'inferno di un'altro pianeta."
Aldous Huxley
Aldous Huxley
Premetto che mi vergogno tantissimo 
ho confuso la lettera C con la R. Quindi quello che intendevo era:
Si tracci la parallela alla retta AX passante per Y che individua sul segmento CA il punto E. L'angolo CEY=ABC, i triangoli CEY e ABX sono similie per Talete CE=EA. Si può notare che le costruzioni della retta DX e della retta AY sono in realtà uguali: infatti basta applicare una rotazione e un omotetia per sovrapporle.
ho confuso la lettera C con la R. Quindi quello che intendevo era:
Si tracci la parallela alla retta AX passante per Y che individua sul segmento CA il punto E. L'angolo CEY=ABC, i triangoli CEY e ABX sono similie per Talete CE=EA. Si può notare che le costruzioni della retta DX e della retta AY sono in realtà uguali: infatti basta applicare una rotazione e un omotetia per sovrapporle.
"Forse questo mondo è l'inferno di un'altro pianeta."
Aldous Huxley
Aldous Huxley
Ottima idea!
Ora, per far tutto per bene, ecco una cosa da ricordare sempre quando si usano le trasformazioni del piano :
bisogna sempre scrivere con esattezza quali trasformazioni si usano, in modo da convincere chi legge che non avete scritto "omotetia" o "simmetria" a caso, ma sapete di cosa state parlando ed inoltre questo vi aiuta a verificare che l'intuizione era giusta e non ci sono problemi nell'esplicitarla
Quindi, in questo caso, è meglio dire :
1)il centro e l'angolo della rotazione
2)il centro e il fattore dell'omotetia
3)quali sono i punti di cui si sa già dove vanno e grazie ai quali si possono usare rotazioni e omotetie (ad esempio, A va in C e B va in E etc etc).
I primi due te li chiedo per completezza; il terzo è un consiglio, non indispensabile ora, ma buona abitudine.
...ma allora la geometria la sapete??...
Ora, per far tutto per bene, ecco una cosa da ricordare sempre quando si usano le trasformazioni del piano :
bisogna sempre scrivere con esattezza quali trasformazioni si usano, in modo da convincere chi legge che non avete scritto "omotetia" o "simmetria" a caso, ma sapete di cosa state parlando ed inoltre questo vi aiuta a verificare che l'intuizione era giusta e non ci sono problemi nell'esplicitarla
Quindi, in questo caso, è meglio dire :
1)il centro e l'angolo della rotazione
2)il centro e il fattore dell'omotetia
3)quali sono i punti di cui si sa già dove vanno e grazie ai quali si possono usare rotazioni e omotetie (ad esempio, A va in C e B va in E etc etc).
I primi due te li chiedo per completezza; il terzo è un consiglio, non indispensabile ora, ma buona abitudine.
...ma allora la geometria la sapete??...
Posso dirti qual'è il mio caso:
la mia professoressa (di liceo scientifico) non mi ha mai dato dimostrazioni in cui applicare rotazioni o simmetrie ecc... quindi prima dei tuoi consigli non avevo la più pallida idea di come esprimermi. Se provavo a dimostrare qualcosa lo facevo da solo, quindi senza il bisogno di eplicitare tutto (ma con cose del genere: questo va in quello ecc...).
Comunque d'ora in avanti sarò più che felice di seguire i tuoi consigli...
la mia professoressa (di liceo scientifico) non mi ha mai dato dimostrazioni in cui applicare rotazioni o simmetrie ecc... quindi prima dei tuoi consigli non avevo la più pallida idea di come esprimermi. Se provavo a dimostrare qualcosa lo facevo da solo, quindi senza il bisogno di eplicitare tutto (ma con cose del genere: questo va in quello ecc...).
Comunque d'ora in avanti sarò più che felice di seguire i tuoi consigli...
"Forse questo mondo è l'inferno di un'altro pianeta."
Aldous Huxley
Aldous Huxley
A me piacciono tantissimo le vostre dimostrazioni... questa l'ho trovata solo dopo avere letto le vostre... cmq a parte tutto un piano cartesiano dovrebbe risolvere il tutto in maniera brutale abb in fretta ma lasciamo perdere...
Tracccio la retta EY parallela ad AX che incontra AC in E, esattamente come ha fatto Iron_man... Voglio dimostrare che EYA è simile a XBD con il primo criterio di similitudine.
-- ecco l'angolo uguale:
EAX = 180-YEA (per costruzione)
XAB = YEA - 90 (perche A retto)
XBA = 180 - YEA (perchè AXB retto)
XBD = YEA (perche A, B e D sono allineati)
-- ed i due lati proporzionali:
Inoltre EA/BD=EY/XB [1]
infatti moltiplicando la [1] per 2 otteniamo CA/AB = AX/XB che è vera per la similitudine di ABC e ABX.
si deduce che EAY=XDB da cui le retta AY e DX formano angoli uguali con i due cateti e quindi sono a loro volta perpendicolari...
Tracccio la retta EY parallela ad AX che incontra AC in E, esattamente come ha fatto Iron_man... Voglio dimostrare che EYA è simile a XBD con il primo criterio di similitudine.
-- ecco l'angolo uguale:
EAX = 180-YEA (per costruzione)
XAB = YEA - 90 (perche A retto)
XBA = 180 - YEA (perchè AXB retto)
XBD = YEA (perche A, B e D sono allineati)
-- ed i due lati proporzionali:
Inoltre EA/BD=EY/XB [1]
infatti moltiplicando la [1] per 2 otteniamo CA/AB = AX/XB che è vera per la similitudine di ABC e ABX.
si deduce che EAY=XDB da cui le retta AY e DX formano angoli uguali con i due cateti e quindi sono a loro volta perpendicolari...