ok posto un paio di ideuzze..
Il problema che tratto ora è una generalizzazione di quello proposto; n sono i colori e m le persone.
1) il primo che parla non può sapere nulla sul proprio cappello ed è quindi impossibile una strategia che definisca tutti i cappelli.
2) ciò che il primo a parlare dice deve essere sufficente però a definire il cappello del secondo a parlare.
provo a descrivere una strategia possibile:
Siano n i colori diversi dei cappelli.
Numero gli n colori diversi da uno a n; ora ad ogni cappello è assegnato il numero del suo colore;i cappelli saranno più avanti trattati come se fossere questo numero.
sia $ r(x_i) $ la risposta data dall'i esima persona a parlare; inoltre per $ i \not = 1 $ questa risposta si presuppone corretta.
sia $ f(x_i) $ la somma dei cappelli davanti all'i-esima persona a parlare considerata modulo n.
siano le m persone numerate secondo l'ordine di parola da $ x_1,x_2....x_m $
se definisco $ r(x_1)=f(x_1) $ il primo a parlare può benissimo non definire il proprio colore del cappello..daltronde per quanto detto su non esistono strategie che permettano di definire il suo cappello con certezza.
se pongo $ r(x_2)=f(x_1)-f(x_2) $ sempre considerando il tutto modulo n si definisce il cappello di $ x_2 $ correttamente perchè c'è solo un colore $ c_i $ (modulo n i colori sono diversi) tale che $ f(x_1)=f(x_2)+c_i $(mod n) .
ora si tratta solo di generalizzare
definisco per ricorrenza la successione $ r(x_k) $ come:
$ r(x_1)=f(x_1) $
$ r(x_i)= f(x_{i-1})-f(x_i) $ (quest'ultima analogamente a prima)
ma è facile verificare che (insomma ciò che stà davanti all'k-esimo è ciò che stà davanti al primo - le presone dal secondo fino al k-esimo incluso):
$ f(x_{i-1})=f(x_1)- \sum_{k=2}^{i-1} r(x_k) $
ovvero:
$ r(x_i)=f(x_1)- \sum_{k=2}^{i-1} r(x_k) -f(x_i) $
tutto ciò considerato modulo n permette di definire con certezza (almeno spero) il colore del cappello perchè per definizione i colori hanno rappresentanti diversi modulo n.
inoltre $ f(x_i) $ si può calcolare per definizione (per l'i-esima persona) e $ f(x_1)=r(x_1 $ ) e quindi lo si conosce come daltronde tutte le risposte date prima della propria.
Questa strategia permette di definire tutti i cappelli meno il primo.
PS spero di non avere fatto troppo casino con gli indici..
E' stato troppo divertente anche perchè quasi nessuno riusciva a capire il vero metodo.
