Essendo $ P $ un punto qualsiasi su $ AD $, possiamo "ribaltare" il problema e riscriverlo come:"Sia $ D $ il piede dell'altezza $ AD $ su $ BC $, siano$ E $ ed $ F $ punti rispettivamente su $ AC $ e $ AB $ tali che$ \widehat{FDA}=\widehat{EDA} $. Dimostrare che le rette $ BE $, $ CF $, e $ DA $ concorrono in un punto $ P $".EvaristeG ha scritto: 14. Sia ABC un triangolo, AD un'altezza e P un punto su di essa; sia E l'intersezione di BP e CA, F l'intersezione di CP e AB. Dimostrare che AD biseca $ \measuredangle EDF $.
Utilizzeremo quindi il teorema di Ceva, che ci dice che
$ BD\cdot CE\cdot AF=DC\cdot EA\cdot FB $
Poniamo
$ AB=a $, $ FA=x $
$ AC=c $, $ EC=y $
$ AD=h $, quindi $ BD=\sqrt{a^2-h^2} $ e $ DC=\sqrt{c^2-h^2} $.
$ \widehat{BDF}=\widehat{EDC}=\alpha $
$ \widehat{BFD}=\beta $
$ \widehat{DEC}=\gamma $
L'equazione diventa quindi
$ \sqrt{a^2-h^2}yx=\sqrt{c^2-h^2}(c-y)(a-x) $
Sappiamo inoltre che per il teorema del seno,
$ \displaystyle \frac{y}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt{c^2-h^2}}{\sin\gamma} $
$ \displaystyle \frac{a-x}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt{a^2-h^2}}{\sin\beta} $
da cui otteniamo
$ \displaystyle y=\frac{\sqrt{c^2-h^2}\sin\alpha}{\sin\gamma} $
$ \displaystyle a-x=\frac{\sqrt{a^2-h^2}\sin\alpha}{\sin\beta} $
Sostituendoli all'equazione di partenza, e poi semplificando, otterremo
$ \displaystyle \frac{x}{\sin\gamma}=\frac{c-y}{\sin\beta} $
Sappiamo inoltre, sempre per il teor. del seno, che
$ \displaystyle \frac{h}{\sin(180°-\gamma)}=\frac{c-y}{\sin(90°-\alpha)} $
$ \displaystyle \frac{h}{\sin(180°-\beta)}=\frac{x}{\sin(90°-\alpha)} $
da cui otteniamo
$ \displaystyle c-y=\frac{h\sin(90°-\alpha)}{\sin(180°-\gamma)} $
$ \displaystyle x=\frac{h\sin(90°-\alpha)}{\sin(180°-\beta)} $
Sostituendo questi risultati all'equazione di partenza, si ottiene
$ \displaystyle \frac{h\sin(90°-\alpha)}{sin(180°-\beta)\sin\gamma}=\frac{h\sin(90°-\alpha)}{sin(180°-\gamma)\sin\beta} $
ma poichè $ \sin(180°-\theta)=\sin\theta $, allora i due membri sono uguali ed è verificata l'identità. Dunque la tesi è dimostrata.