.. o forse sono io che non riesco a vederlo.. non so, cmq chi mi dà una mano è un grande:
ho questa funzione:
$ $$\displaystyle f(x, \beta)= {\frac{1} {{1+e^{\frac{-x}{ \beta}}}}}$$ $
devo trovare lo stimatore di massima verosimiglianza cioè $ \hat {\beta} $.. sostanzialmente bisogna fare i seguenti passaggi:
-produttoria della funzione per i che va da 1 a n (la x è indicizzata)
-logaritmo della produttoria
-derivata del logaritmo in base a $ \beta $
-si pone uguale a zero e si ricava $ \beta $ che è appunto lo stimatore
chi ha la pazienza di farlo? io ho ottenuto un risultato dopo sforzi immani, ma non sono sicuro al 100%.
vi ringrazio in anticipo.
p.s. dimenticavo: $ \beta>0 $
credo non sia facilissima
Uhm ... non mi convince il tuo algoritmo :
$ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial\beta}\log \prod_{i=1}^n f(i,\beta)=\sum_{i=1}^n\frac{\frac{\partial f(i,\beta)}{\partial\beta}}{f(i,\beta)}=\sum_{i=1}^n -\frac{ie^{\frac{-i}{\beta}}}{\beta^2(1+e^\frac{-i}{\beta})}} $
ovvero
$ \sum_{i=1}^n\frac{i}{\beta^2(-1-e^\frac{i}{\beta})} $
Tu vorresti che questa somma faccia zero ... beh
$ i>0\quad \beta^2>0\quad 1+e^\frac{i}{\beta}>0 $
quindi tutti i termini della somma sono minori di zero. L'unica possibilità per annullarla è che tutti i termini siano nulli, ma questo è impossibile poichè beta non compare a numeratore ... la somma fa zero per beta=infinito, ma non so questo quanto possa aiutare ... sicuro di aver scritto l'algoritmo corretto?
$ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial\beta}\log \prod_{i=1}^n f(i,\beta)=\sum_{i=1}^n\frac{\frac{\partial f(i,\beta)}{\partial\beta}}{f(i,\beta)}=\sum_{i=1}^n -\frac{ie^{\frac{-i}{\beta}}}{\beta^2(1+e^\frac{-i}{\beta})}} $
ovvero
$ \sum_{i=1}^n\frac{i}{\beta^2(-1-e^\frac{i}{\beta})} $
Tu vorresti che questa somma faccia zero ... beh
$ i>0\quad \beta^2>0\quad 1+e^\frac{i}{\beta}>0 $
quindi tutti i termini della somma sono minori di zero. L'unica possibilità per annullarla è che tutti i termini siano nulli, ma questo è impossibile poichè beta non compare a numeratore ... la somma fa zero per beta=infinito, ma non so questo quanto possa aiutare ... sicuro di aver scritto l'algoritmo corretto?
mmm.. aspetta.. di solito questo tipo di problema si risolve per passaggi.. tu hai fatto tutto insieme.. credo sia un po' più difficile ma sostanzialmente il risultato dovrebbe essere lo stesso...
tu però scrivi $ f(i, \beta) $ quando in realtà è $ f(x, \beta) $.
Quando si risolve il primo passaggio, cioè la produttoria della funzione, si ha
$ \prod_{i=1}^n {f(x, \beta)} $
quindi dovresti avere $ x_i $ all'interno della produttoria, cioè al numeratore dell esponente di e.
non so se è la stessa cosa che hai scritto tu, ma con una notazione diversa..
in ogni caso prova a risolverlo per passaggi: prima la produttoria, poi il logaritmo ecc ecc, tenendo conto di questa cosa.
tu però scrivi $ f(i, \beta) $ quando in realtà è $ f(x, \beta) $.
Quando si risolve il primo passaggio, cioè la produttoria della funzione, si ha
$ \prod_{i=1}^n {f(x, \beta)} $
quindi dovresti avere $ x_i $ all'interno della produttoria, cioè al numeratore dell esponente di e.
non so se è la stessa cosa che hai scritto tu, ma con una notazione diversa..
in ogni caso prova a risolverlo per passaggi: prima la produttoria, poi il logaritmo ecc ecc, tenendo conto di questa cosa.
Hmm cosa vuoi dire con "la x è indicizzata"??? io ho capito che la x era l'indice su cui sommavi ....
e cmq, vorrei farti notare che :
Derivata ( Logaritmo (Prodotto) ) = Derivata (Somma (Logaritmo)) per la prorpietà del logaritmo
=Somma(Derivata(Logaritmo))
Quindi fare "tutto insieme" o svolgere tutti i passaggi non cambia nulla ... piuttosto, scrivi bene cosa dipende da i.
e cmq, vorrei farti notare che :
Derivata ( Logaritmo (Prodotto) ) = Derivata (Somma (Logaritmo)) per la prorpietà del logaritmo
=Somma(Derivata(Logaritmo))
Quindi fare "tutto insieme" o svolgere tutti i passaggi non cambia nulla ... piuttosto, scrivi bene cosa dipende da i.
per maggiore chiarezza ho svolto in questo modo un problema simile:
$ f(x_i, \beta)= {\frac{x_i}{\beta^2}}e^{\frac{x_i}{\beta}} $
primo passaggio (produttoria):
$ \displaystyle{\prod_{i=1}^n{\left({\frac{x_i}{\beta^2}}e^{\frac{x_i}{\beta}}\right)}=} $ $ \displaystyle{\left(\beta^{-2n}\right) \left({e^{{-1/\beta}\sum_{i=1}^n{x_i}}}\right) \prod_{i=1}^n{x_i}} $
secondo passaggio (logaritmo):
$ \displaystyle{-2n\ln\beta -\left(\frac{1}{\beta}\right)\sum_{i=1}^n{x_i} +\sum_{i=1}^n\ln{x_i} } $
terzo passaggio (derivata rispetto a $ \beta $):
$ \displaystyle{\frac{-2n}{\beta} +\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{\beta^2} } $
quarto passaggio (si pone uguale a zero e si ricava $ \beta $):
$ \displaystyle{\hat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{2n} } $
$ f(x_i, \beta)= {\frac{x_i}{\beta^2}}e^{\frac{x_i}{\beta}} $
primo passaggio (produttoria):
$ \displaystyle{\prod_{i=1}^n{\left({\frac{x_i}{\beta^2}}e^{\frac{x_i}{\beta}}\right)}=} $ $ \displaystyle{\left(\beta^{-2n}\right) \left({e^{{-1/\beta}\sum_{i=1}^n{x_i}}}\right) \prod_{i=1}^n{x_i}} $
secondo passaggio (logaritmo):
$ \displaystyle{-2n\ln\beta -\left(\frac{1}{\beta}\right)\sum_{i=1}^n{x_i} +\sum_{i=1}^n\ln{x_i} } $
terzo passaggio (derivata rispetto a $ \beta $):
$ \displaystyle{\frac{-2n}{\beta} +\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{\beta^2} } $
quarto passaggio (si pone uguale a zero e si ricava $ \beta $):
$ \displaystyle{\hat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{2n} } $